數列特徵根法的證明
塗東鈳數列的特徵根法求通項公式，體現了數學中幾大重要的思想方法，證明這類問題，可以說是以極限的思維匯入，又由方程的理念匯出。所謂特徵根就是指某種手段下，對數列的無窮項進行概括，得到乙個具有高度特性的抽象化符號，它的實質，是函式的不動點。對不動點的理解，有一種極其形象而準確的闡釋：
一張矩形紙片蓋住整個盒底，紙片上的每乙個點都對應盒底的每乙個點，然後將其揉成球，放到盒裡，盒底必定有乙個點與球的投影構成的圓，這一部分的投影在紙球展開後的紙片中必定有原象，將這一部分撒下來，再揉成球，球底落到同乙個落點上，那麼重複剛才的動作，無限迴圈，那麼重複剛才的動作，無限迴圈，那麼就會得到乙個極限點，這個點在原紙片依然找得到原象，即這個點稱為不動點。數列中的不動點就是特徵根。
證明一階的分式函式型特徵根，是從二階遞推關係開始的。二階線性遞推關係的證明是一階分式遞推式的基礎。
證明：若數列的遞推關係為。
那麼構造：
由於為常數，因此，如果，那麼數列，就具有等比數列的特性。
所以，我們把，即叫做特徵方程，方程的兩根叫做特徵根。
由韋達定理可知，方程，滿足
這時，若
那麼，可得到如下關係式：
由此，形如的數列，使可構造
然後把所得到的等比數列用首項，公比表示，即可求出。
（c1，c2為待定常數）
這裡不詳釋。
由二階數列的理論基礎，可以引導分式函式的一階特徵根的匯出。
形如的數列
我們不妨構造兩個數列的分式形式，即令
且設為數列滿足的條件
下證：對於任意的，有
（1）時，成立
（2）假設時等式成立，即。
則：當時， (還原已知)
∴當時，成立
得證。由（1）式有：x(n+1)=pxn+qyn（3）（4）
當（3）、（4）代入（2）有：
。即：由（已設）（（1）式）
當時，，而且（5）
（由（5）得）
∴無論，都有
又（已設）（2）
∴重複ⅰ步驟得：
不妨構造（6）
所以與有相同的特徵根，這裡設為。
所以由二階的理論可得
為等比數列，公比為
且為等比數列，公比為
∴數列也為等比數列，公比為
又由（1）（2）得：
上下同除以得：
∴數列為等比數列
又由（6）式得：
且滿足方程
即： 該式即為特徵根方程，有
且若，則有（k、m為特徵根）為等比數列，時，原理相同，在此，只證一例證下證時的特徵根。
在二階遞推式中，憶證特徵根滿足
（7）當時，二階特徵方程指導下，
（7）式可變為同除以
得： 即：為等差數列
又由一階中，二階式滿足
均為等差數列
由於，且由（7）式得：
故。同除yn
得等差由於
恰好是時的兩等根
故特徵根方程時，
數列為等差數列，k為唯一特徵根。證畢。
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