數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點，解決這類問題常常用到放縮法。用放縮法解決「數列+不等式」問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮。
1、 先放縮再求和
例1 （05年湖北理）已知不等式其中為不大於2的整數，表示不超過的最大整數。設數列的各項為正且滿足，證明：，
分析：由條件得：
……以上各式兩邊分別相加得：
=本題由題設條件直接進行放縮，然後求和，命題即得以證明。
例2 （04全國三）已知數列的前項和滿足：，
（1）寫出數列的前三項，，；
（2）求數列的通項公式；
（3）證明：對任意的整數，有
分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：（n>1）
化簡得：
,故數列{}是以為首項, 公比為的等比數列.
故 ∴
∴數列{}的通項公式為：.
⑶觀察要證的不等式，左邊很複雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數列的前n項公式求和，由於-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合併起來一起進行放縮，嘗試知：，
，因此，可將保留，再將後面的項兩兩組合後放縮，即可求和。這裡需要對進行分類討論，（1）當為偶數時，
（2）當是奇數時，為偶數，
所以對任意整數，有。
本題的關鍵是並項後進行適當的放縮。
2、 先求和再放縮
例3（武漢市模擬）定義數列如下：
證明：（1）對於恒有成立。
（2）當，有成立。
（3）。
分析：（1）用數學歸納法易證。
（2）由得：
以上各式兩邊分別相乘得：
又 （3）要證不等式，
可先設法求和：，再進行適當的放縮。
又原不等式得證。
本題的關鍵是根據題設條件裂項求和。
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...
關於運用放縮法的數列不等式證明
數列不等式是高考的乙個考點，這類問題是把數列知識與不等式的內容整合在一起，形成了證明不等式，求不等式中的引數範圍，求數列中的最大項，最小項，比較數列中的項的大小關係，研究數列的單調性等不同解題方向的問題，而數列的條件的給出是多種多樣的，可以是已知的等差數列，等比數列，也可以是乙個遞推公式，或者是乙個...
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...