1.求證：已知為正實數，求證：
【答案】略
2.已知，求證：
【答案】證明： ∵都是正數，∴
∴；；∴由不等式的性質定理4的推論1得··即
3.已知，求證：
【答案】證明：，.
∵、、為正實數，
∴，，∴，
即原不等式成立.
4.設為正實數，求證：
證明：因為為正實數，由平均不等式可得．
即．所以，
而，所以．
5.已知, 且，求證：
【答案】因為，所以，且，所以當時，，
即有.所以
6. 已知實數不全為零，求證：
【答案】證明：
同理可得
由於不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加得
7. 三角形的三邊長分別是，且為正數，求證：
【答案】[證明]建構函式，可證明在上是增函式。
∵，∴，
即另證：
8. 設，，，證明：
【答案】將待證不等式的左端變形：．
以為主元構造一次函式，．
所以．因為，，
所以 ，
．因為的影象是一條端點橫座標為和的線段（不包括兩個端點），且，，所以，的影象恆在軸的上方．即對定義域內的每一點，都有恆成立．因為，所以．
所以原不等式成立．
9. 若，則
【答案】略
10. 已知為正數，且，求證：
【答案】由第9題，得，
因為為正數，且，所以．
因為，所以，欲證原不等式成立，只需證：，
只需證：．
由平均值不等式，得，，．
上述三式相加可得．
所以原不等式成立．
11. 設是正實數,且．證明：
【答案】由不等式可得：
3） 在（3）中令，，又因為，
所以，類似可得：，
．將上述三個不等式相加，即得
12. 證明：對，均有：（1）； （2）【答案】教材36頁
13. 已知，求證：
【答案】記．
因為，所以，
，所以，
即原不等式成立．
14. 設為三角形的三邊長，求證：
【答案】證明：原不等式．
由不等式的對稱性，不妨設，則
，且，，
所以．所以．
15. 設，，, ，求證：
16. 設，且，證明：
【答案】教材38頁
不等式證明方法
1.比較法比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法 簡稱為求差法 和商值比較法 簡稱為求商法 1 差值比較法的理論依據是不等式的基本性質 a b 0a b a b 0a b 其一般步驟為 作差 考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看...
不等式的證明方法
不等式性質的應用 1 不等式性質成立的條件 運用不等式的基本性質解答不等式問題，要注意不等式成立的條件，否則將會出現一些錯誤。對表達不等式性質的各不等式，要注意 箭頭 是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。例1 若，則下列不等關係中不能成立的是 a b c d 解 由，a 成立。由，c...
不等式證明常用方法
17世紀之後，不等式的理論成為數學理論的重要組成部分。經過高斯 柯西 切貝曉夫等對不等式問題的研究，該理論得到非常快的發展，人們也一直在對不等式進行不斷的完善，取得許多重要成果。不等式不僅有重要的理論意義，在實踐方面運用於工程技術領域對它的生產有很大的作用。證明不等式的方法不僅有豐富的邏輯推理 也很...