1、直角三角形中，直角所對的邊叫做斜邊，是直角三角形中最長的邊。互相垂直的兩條邊叫做直角邊。在我國古代，人們把短直角邊叫勾，長直角邊叫股，斜邊叫弦。
一般地，如圖，∠a所對的邊，用a表示。∠b所對的邊用b表示，
∠c所對的邊用c表示。當∠a=rt∠時，a表示斜邊，當∠b=rt∠時，
b表示斜邊，∠c=rt∠時，c表示斜邊。
2、勾股定理：
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
即特別地，勾股定理的運用，必須找準斜邊，即直角所對的邊，
當沒有明確的直角時，斜邊為三邊中最長的邊。
3、勾股定理的簡單證明：
如圖，已知△abc中 ∠c為直角，bc=a,ac=b,ab=c.延長ac
到e，使ae=bc，過e作ce的垂線de交ce於點e，取de=ac。連線ad,bd
求證：4、基本勾股數
若a、b、c均為自然數，且無1以外的整數公因式當它們滿足關係式時，我們稱（a、b、c）為基本勾股陣列。記一記：，，，，，，…均為基本勾股陣列。寫出下表的勾股數從中發現什麼規律？
n倍時，對於任何滿足的a、b、c，都成立嗎？試證明！
5.解題技巧。
（1）利用勾股定理解題一定要找準斜邊、直角邊。
（2）作輔助線構造直角三角形解題。
（3）30°、45°銳角的直角三角形三邊的比例關係。
（4）數形結合的實際問題，運用點到直線距離最短、兩點間線段最短，空間圖形展開成平面圖形等知識點。
例1．已知乙個直角三角形的兩直角邊分別是6、8，那麼斜邊長是多少？
例2．在△abc中，∠c=90°，
（1）若a=5,b=12，則c2）若b=7,c=9，則a2= 。
（3）若c=10,a:b=3:4，則a= ，b
（4）若a=b，c=m，則a2= ，s△abc= 。
（5）若a=b=m，則c2s△abc
例3．等腰三角形腰長為17cm,底邊長為16cm,求底邊上的高。
例4.如圖rt△abc中 ∠c為直角，∠b=60°，cd垂直ab，若bc長為a，用a表示
ab,ac,cd,bd的長度，並且求出bc:ac:ab的值。若∠b=45°呢？
例5．求下列直角三角形中未知邊a,b的長度（如下圖所示）
1．在中，若的度數比是5：2：3，則是（ ）
a．直角三角形 b．銳角三角形 c．鈍角三角形 d．無法確定
2．適合下列條件的△abc中，直角三角形的個數為（ ）
（1），，； （2），； （3），，；
（4），，。
a．1個b．2個c．3個 d．4個
3．下列各組數中不能構成直角三角形的一組數是（ ）
a．5，12，13 b．7，24，25 c．8，15，17 d．4，6，9
4．乙個直角三角形三邊長為連續自然數，則這三個數為（ ）
a．1，2，3b．2，3，4 c．3 ，4，5d．3.5，4.5，5.5
5．下列語句：
（1）若△abc中，，則△abc不是直角三角形；
（2）若△abc為直角三角形，∠c=90°，則；
（3）若△abc中，，則∠c=90°；
（4）勾股定理的逆定理是「若兩邊的平方和等於斜邊的平方，
則此三角形為直角三角形」其中正確的個數是（ ）。
a．1個b．2個c．3個d．4個
6．三角形三邊長分別為6，8，10，那麼它最長邊上的高為（ ）
a．6b．4.8c．2.4d．8
7.如圖：在四邊形abcd中，ab=2，cd=1，∠a=60°，∠b=∠d=90°，求bc和ad的長。
8.如圖，a、b是筆直公路同側的兩個村莊，且兩個村莊到公路的距離分別為300和500，兩村莊之間距離為，現要在公路上建一汽車停靠點，使兩村到停靠點的距離之和最小。問最小值是多少？
9.如圖，已知△abc中，ad、ae分別是bc邊上的高和中線，ab=9，ac=7，bc=8，求de的長。
10.如圖為一圓錐，已知∠aob=60°，oa=4，c為ob的中點，求點a沿圓錐表面運動到點c的最短距離。
勾股定理作業
1．在△abc中，∠c=90°。
（1）若a=2，b=5，則c
（2）若c=61，b=60，則a
（3）若，，則ab
2．邊長為4的等邊三角形的面積等於
3．等邊三角形一邊上的高為6，則它的邊長等於
4．直角三角形的兩直角邊為6、8，則斜邊上的高等於
5．直角三角形的兩邊長為5、12，則另一邊的長為
6．已知△abc中，ab=ac，ab=6cm，bc=4cm。求（1）s△abc （2）腰ac上的高be。
7．如圖所示，在△abc中，d是bc上一點，ab=10，bd=6，ad=8，ac=17。求△abc的面積。
8．如圖所示，已知四邊形abcd中，ad=3cm，ab=4cm，dc=12cm，bc=13cm，且ab⊥ad。求四邊形abcd的面積。
19 9 2 勾股定理 勾股定理的應用
19.9 2 勾股定理 勾股定理的應用 要點歸納 應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形。如果存在直角三角形，根據所給的三邊的條件，建立方程，從而使問題解決 如果問題中沒有直角三角形，可以通過新增輔助線構造出直角三角形，尋求定量關係，再根據勾股定理建立相應的方程。...
勾股定理的發現及證明
二 勾股定理的證明方法 古今勾股定理的證明方法很多，到目前為止，大概有400多種，在這裡僅舉幾個比較經典的證明方法。一 趙爽對勾股定理的證明 我國古代的勞動人民早在幾千年前就已經掌握了勾股定理。並把它應用於實際的生產和生活之中。現存數學典籍中最早給這一定理證明的，是趙爽在註解 周髀算經注 時給出的。...
勾股定理的證明
證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三...