——拼圖法、定理法
江蘇省泗陽縣李口中學沈正中
據說對社會有重大影響的10大科學發現，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。迄今為止，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，各種證法融幾何知識與代數知識於一體，完美地體現了數形結合的魅力。
讓我們動起手來，拼一拼，想一想，娛樂幾種，去感悟數學的神奇和妙趣吧！
一、拼圖法證明（舉例12種）
拼法一：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖2拼法。
問題：你能用兩種方法表示左圖的面積嗎？對比兩種不同的表示方法，你發現了什麼？
分析圖2：s正方形=（a+b）2= c2 + 4×ab
化簡可得：a2+b2 = c2
拼法二：做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個正方形。
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
a2+b2+4×ab = c2+4×ab 整理得 a2+b2 = c2
拼法三：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖3拼法。
問題：圖3是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的。在圖3中用同樣的辦法研究，你有什麼發現？你能驗證a2+b2=c2嗎？
分析圖3：s正方形= c2 =（a-b）2+ 4×ab
化簡可得：a2+b2 = c2
觀察圖2、圖3與圖4的關係，並用一句話表示你的觀點。
圖4為圖2與圖3面積之和。
拼法四：用兩個完全相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按圖5拼法。
背景：在2023年乙個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德（garfield）．他發現附近的乙個小石凳上，有兩個小孩正在談論著什麼．由於好奇心的驅使，伽菲爾德向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麼．只見乙個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著乙個直角三角形．於是伽菲爾德便問他們在幹什麼？只見那個小男孩頭也不抬地說：
「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答到：「是5呀．」小男孩又問道：
「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不加思索地回答到：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．」小男孩又說道：
「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。
於是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心**小男孩給他留下的難題。他經過反覆的思考與演算，終於弄清楚了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
問題： 圖5就是伽菲爾德**的拼法，你知道他是如何驗證的嗎？你能用兩種方法表示圖5的面積嗎？
伽菲爾德**是這樣分析的：
s梯形abcd= (a+b)2
s梯形abcd=s△abe+ s△ecd+ s△aed=ab+ab+c2
則有： (a+b)2=ab+ab+c2
化簡可得：a2+b2 = c2
比較圖5與圖2，你有什麼發現？
圖5面積為圖2之半。
拼法五：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c），拼成圖6，得邊長分別為a、b、c正方形。
問題：觀察圖6，你能發現邊長分別為a、b、c的正方形嗎？你能通驗證到：a2+b2 = c2嗎？
分析：其實，圖6可以轉化為下面兩圖：
圖a的面積可表示為：a2+b2+2×ab
圖b的面積可表示為：c2+2×ab
比較a、b兩圖，你發現了什麼？
a2+b2+2×ab = c2+2×ab
化簡可得：a2+b2 = c2
拼法六：設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形abcd把正方形abcd劃分成左圖所示的幾個部分，則該正方形abcd的面積為（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab；再把正方形abcd劃分成右圖所示的幾個部分，則正方形abcd的面積為（a＋b）2＝c2+4×ab
由兩正方形面積相等得 a2＋b2＋2ab＝c2+4×ab 整理得 a2+b2 = c2
拼法七：用四個相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）拼成圖7。
問題：你能把圖7轉化為圖c嗎？通過位置變換，你發現了什麼？你能發現邊長分別為a、b、c的正方形嗎？能否驗證到：a2+b2 = c2呢？
分析：圖7的面積可表示為：c2+4×ab
圖c的面積可表示為：a2+b2+4×ab
比較圖c、圖7，你發現了什麼？
a2+b2+4×ab = c2+4×ab 化簡可得：a2+b2 = c2
拼法八、九、十、十
一、十二：製作乙個五巧板，如圖8。
方法：先作乙個直角三角形，直角邊為a、b，斜邊為c，以斜邊為邊長向內作正方形，並把正方形按圖中實線分割為五個部分，這就是乙個五巧板。
問題：運用五巧板，拼出圖d、圖e、圖f、圖g，並仔細觀察、比較，你發現了什麼？能否驗證到：a2+b2 = c2呢？你還有其它的拼法嗎？
二、定理法證明（舉例3種）
利用切割線定理證明
在rtδabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 如圖，以b為圓心a為半徑作圓，交ab及ab的延長線分別於d、e，則bd = be = bc = a. 因為∠bca = 90，點c在⊙b上，所以ac是⊙b 的切線.
由切割線定理，得
ac2=ae·ad＝(ab＋be) (ab－bd)＝（c＋a）（c－a）＝c2－a2 從而可得 a2+b2 = c2
利用托勒密定理證明
在rtδabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c（如圖）. 過點a作ad∥cb，過點b作bd∥ca，則acbd為矩形，矩形acbd內接於乙個圓. 根據托勒密定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有
ab·dc＝ad·bc＋ac·bd 從而可得a2+b2 = c2
利用射影定理證明
如圖，在rtδabc中，設直角邊ac、bc的長度分別為a、b，斜邊ab的長為c，過點c作cd⊥ab，垂足是d.
根據射影定理，得
ac2＝ad·ab， bc2＝bd·ba
即ac2＋bc2＝ad·ab＋bd·ba＝ab（ad＋bd）＝ab2 從而得a2+b2 = c2
品味各種拼圖，方法各異，妙趣橫生，證明思路別具匠心，極富創新。它們充分運用了幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關係，既具嚴密性，又具直觀性，深刻體現了形數統
一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特魅力。
勾股定理的幾種證明方法
一 教學內容 勾股定理 1.掌握勾股定理，了解用拼圖的方法驗證勾股定理 2.能夠利用勾股定理進行有關的計算或推理 3.能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題 二 知識要點 1.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那麼a2 b2直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，這就是 證法一 拼圖...
勾股定理的證明方法
證法1 課本的證明 做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a b c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a b，所以面積相等.即 整理得 證法2 鄒元治證明 以a b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三...
勾股定理的證明方法
緒論勾股定理是世界上應用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數學 幾何中的重要且基本的工具。而數千年來，許多民族 許多個人對於這個定理之證明數不勝數，達三百餘種。可見，勾股定理是人類利用代數思想 數學思想解決幾何問題 生活實際問題的共同智慧型之結晶，也是公理化證明體系的開端。第一節勾股定理的...