【知識要點】
證明數列不等式常用的有數學歸納法、放縮法和分析法.
一、數學歸納法
一般地，證明乙個與自然數有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當取第乙個值時命題成立.對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當（，為自然數）時命題成立，證明當時命題也成立.
綜合（1）（2），對一切自然數（），命題都成立.
二、放縮法
證明不等式時，有時根據需要把需證明的不等式的值適當放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達到證明的目的，這種方法稱為放縮法.
放縮的技巧：
新增或捨去一些項，如：
②將分子或分母放大或縮小，如：
③利用基本不等式等，如：
三、分析法
證明不等式時，從待證命題出發，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最後將命題成立的條件歸結為乙個已經證明過的定理、簡單事實或題設的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執果索因的方法.
用分析法證明時，要注意格式，一般格式是「要證明，只需證明……」.
一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程.
【方法點評】
【例1】用數學歸納法證明:
【點評】利用數學歸納法證明不等式時，關鍵在於第二步，證明這一步時，一定要利用前面的假設和已知條件.
【反饋檢測1】已知，（其中）
（1）求及；
（2）試比較與的大小，並說明理由．
【例2】已知函式
（1）當時，求函式在上的極值；
（2）證明：當時，；
（3）證明： .
（2）令
則上為增函式.
（3）由（2）知
令得，【點評】(1)本題就是利用放縮法證明不等式，是高考的難點和重點.(2)利用放縮法證明不等式，有時需要放縮通項，有時是需要放縮求和的結果，本題兩種放縮都用上了.(3)放縮要得當，所以放的度很重要，有時需要把每一項都放縮，有時需要把前面兩項不放縮，後面的都放縮，有時需要把後面的項不放縮，所以要靈活調整，以達到證明的目的.
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【反饋檢測2】已知數列滿足．
（1）求及通項公式；（2）求證：．
【反饋檢測3】將正整數按如圖的規律排列，把第一行數1，2，5，10，17， 記為數列，第一列數1，4，9，16，25， 記為數列
（1）寫出數列，的通項公式；
（2）若數列，的前n項和分別為，用數學歸納法證明：；
（3）當時，證明：．
【反饋檢測4】已知函式
（1）當時，比較與1的大小；
（2）當時，如果函式僅有乙個零點，求實數的取值範圍；
（3）求證：對於一切正整數，都有
【反饋檢測5】已知函式.
（1）討論的單調性與極值點；
（2）若，證明：當時，的圖象恆在的圖象上方；
（3）證明： .
【例3】已知函式是奇函式，且影象在點處的切線斜率為3（為自然對數的底數）．
（1）求實數、的值；
（2）若，且對任意恆成立，求的最大值；
（3）當時，證明：．
（2）當時，設，
則設，則，在上是增函式
因為，，
所以，使
時，，，即在上為減函式；
同理在上為增函式
從而的最小值為
所以，的最大值為
【點評】本題的第3問，由於結論比較複雜，一下子看不出證明的方向，所以要採用分析法來證明.
【反饋檢測6】已知函式.
（1）當時，試確定函式在其定義域內的單調性；
（2）求函式在上的最小值；
（3）試證明：.
高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第41講：
數列不等式的證明方法參***
【反饋檢測1答案】（1），；（2）當或時，,當時，．
【反饋檢測1詳細解析】
（1）取，則；取，則，
．∵時，， ∴∴．
即時結論也成立，
∴當時，成立.
綜上得，當或時，；
當時，．
【反饋檢測2答案】（1），；（2）見解析.
【反饋檢測3答案】（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析. 學科*網
【反饋檢測3詳細解析】
（1）由，得：，
① 當時，，∴，又，∴時等式成立；
② 假設時等式成立，即，
則時，，
∴時等式也成立
根據①②，都成立
【反饋檢測4答案】（1）或；（2）見解析.
【反饋檢測4解析】（1）當時，，其定義域為
因為，所以在上是增函式
故當時，；當時，；
當時，（2）當時，，其定義域為
，令得，
因為當或時，；當時，
所以函式在上遞增，在上遞減，在上遞增
且的極大值為，極小值為
又當時，；當時，
因為函式僅有乙個零點，所以函式的圖象與直線僅
有乙個交點.所以或
（3）方法二：用數學歸納法證明：①當時，不等式左邊，右邊
因為，所以，即時，不等式成立
②假設當時，不等式成立，即
那麼，當時，
由（1）的結論知，當時，，即所以即
即當時，不等式也成立
綜合①②知，對於一切正整數，都有
【反饋檢測5答案】（1）在和上單調遞增，在上單調遞減.
為極大值點，為極小值點；（2）見解析；（3）見解析.
（2）當時，令，
，當時，，時，，
∴在上遞減，在上遞增，∴，∴時，恆成立.
即時，恆成立，∴當時，的圖象恆在的圖象上方.
（3）由（2）知，即，∵，∴，
令，則，∴
∴∴不等式成立.
【反饋檢測6答案】（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
（2）；（3）見解析. 學科*網
【反饋檢測6詳細解析】（1）函式的定義域為，當時，，則
，解不等式，得；解不等式，得，
故函式的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當，即當時，當，，當時，，
此時函式在處取得極小值，亦即最小值，
即，綜上所述，；
由（1）知，當時，函式在區間上單調遞增，
即函式在區間上單調遞增，故，
故有，因此不等式在上恆成立，故原不等式得證，
即對任意，.
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