勾股定理的發現及證明

二、勾股定理的證明方法

古今勾股定理的證明方法很多，到目前為止，大概有400多種，在這裡僅舉幾個比較經典的證明方法。

（一）、趙爽對勾股定理的證明

我國古代的勞動人民早在幾千年前就已經掌握了勾股定理。並把它應用於實際的生產和生活之中。現存數學典籍中最早給這一定理證明的，是趙爽在註解《周髀算經注》時給出的。

趙爽又名嬰，字君卿，三國時吳國人，趙爽用「弦圖」通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關係證明了勾股定理，表現了我國古人對數學的鑽研精神和聰明才智。

（二）、美國第二十任**伽菲爾德對（勾股定理）的證明

美國第二十任**伽菲爾德法在數學史上被傳為佳話。**在2023年乙個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近有兩個小孩正在談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲**。

伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麼。只見乙個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著乙個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麼？

只見那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答到：

「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？

」伽菲爾德不加思索地回答到：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。」小男孩又說道：

「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

於是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心**小男孩給他留下的難題。他經過反覆的思考與演算，終於弄清楚了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。

2023年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證法。

2023年，伽菲爾德就任美國第二十任**後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為「**證法」。

（三）、劉徽的《青朱出入圖》證法

劉徽是中國魏晉時期數學家。劉徽用了「出入相補法」證明了勾股定理。也是用的以形證數的方法，只是具體的分合移補略有不同。

公元263年，劉徽為《九章算術》作注釋。在注釋中，他畫了一幅圖形來證明勾股定理。可惜圖已失傳，只留下一段文字：

「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」後人根據這段文字補了一張圖(見右圖)。

只要把圖中朱方（a2）的i移至i′，青方的ii移至ii′，iii移至iii′，則剛好拼好乙個以弦為邊長的正方形（c2 ）．由此便可證得a2+b2=c2。

（四）、歐幾里得勾股定理的證明

著名的希臘數學家歐幾里得（西元前330年-前275年）系統地研究了有關直線、平面、圓和球的幾何性質。我們知道，在歐幾里得之前，畢達哥拉斯定理即已聞名遐邇，因此，歐幾里得決不是這一數學里程碑的發現人。然而，我們下面看到的證明為他贏得了聲譽，許多人都相信，這一證明最初是由歐幾里得作出的。

這個證明的美妙之處在於其先決條件的精練。

他在巨著《幾何原本》（第ⅰ卷，命題47如圖）中給出乙個很好的證明。