接著歸納出錯位相減法，最後對錯位相減法的本質作了深層次的**。
演繹推理錯位相減法等比數列
等比數列是數學裡重要模型之一，它**於我們的實際生活，在生產生活中有著廣泛的應用，甚至進入高校學習高等數學及體會數學的應用價值都具有重要的意義.等比數列前n項和公式的應用是重點，其本身的推導方法也是教學中的重難點.如何解決這一難點，本文在教學中引導學生開展了深入的探索。
等差數列求和公式的核心是倒序相加法，而等比數列求和公式的核心應該是錯位相減法。如何利用演繹推理的方法引導學生理解錯位相減法的思想呢？錯位相減法的本質是什麼呢？
本文很好的解決了這個問題。
1.情境匯入
在人教版必修5第二章第五節中關於國王獎勵西洋棋發明者的故事，在第乙個格內放1粒，第二個格內放2粒，第三個格內放4粒，第四個格內放8粒…… 直到把第六十四個格仔填滿.這位發明者所要求的麥粒數究竟是多少呢？
各個格的麥粒數組成首項為1，公比為2的等比數列，大臣西薩班達依爾所要的獎賞就是這個數列的前64項和.這樣我們將乙個實際問題歸為了乙個數學問題。
那如何求數列1，2，4，…262，263的各項和？我們不妨根據定義求解。
以1為首項，2為公比的等比數列的前64項的和，可表示為：
我們發現後面63項均為偶數，所以它們可以提出公因數2，恰好為此等比數列公比，則我們可以得到：
上式中括號裡的數恰好是此數列前63項的和，所以我們可以用 ，得到：
解得上式過程中，後63項我們提取了係數2，我們發現2恰好為該等比數列的公比，根據模擬推理的思想，那對於一般的等比數列，我們提取公比q，是不是可以達到同樣的效果呢？我們不妨試一試。
2.等比數列的前n項和的推導===
這是乙個關於的方程，整理得
我們發現n=1時也滿足上式，故
於是我們得到以下公式：
當時， ，當q=1時，。
3.錯位相減法的匯出
上式公式的推導要根據n的取值分情況討論，不夠完美，但是我們是否可以在上面的推導中尋找新的突破口呢？得到完美的解答呢？
根據我們之前的解答，發現我們是利用了方程的思想結題，用到了數學中重要的化歸思想，因此我們不妨記為x，為y，我們可以將上式的推導化為
我們要求得x，只需令-×q，便可消去y，得到關於x的方程。也就是說我們讓—×q便可求出我們的結果，我們不妨試一試。
一般地，設等比數列它的前n項和是由得
∴當時， ① 或 ②
當q=1時，
這種求和方法稱為「錯位相減法」 「錯位相減法」，是研究數列求和的乙個重要方法
反思：為什麼要用錯位相減法呢？
原來根據等比數列的性質，數列中，從第二項開始，每一項乘以q就變為其後一項，而在求和時，項數比較多造成計算的困難，與q有（n-1）項相同，兩者作差時可將相同的項消去，得到乙個關於的方程，用方程的思想便可解決求和問題。
除了方程的思想，先猜想後證明也是我們常用的技巧，如何猜出，呢？
從簡單到複雜，引人入勝
我們按照前n項和定義
即只需求出，其中
當n=1時，即
當n=2時，即
當n=3時，即
當n=4時，即
有上面可以猜想，那麼
如何證明上式呢？
我們發現可以的兩邊可以同時乘以（1-q），這樣只需證明，即只需
而上面恰好可以由錯位相減法證明，這樣我們便完成了先猜想後證明的解題方法，體現了數學的樂趣。
4.錯位相減法的拓展
拓展一：若{}成等比數列 ，公比為q（q≠1），{}成等差數列 ，其公差為d，求解：
—拓展二：若{}成等比數列 ，公比為q（q≠1），{}成等差數列 ，其公差為d，前n項和為，求
解：—得
故由上面兩個例子，我們可以大膽猜想，若{}為乙個m次多項式（m為正整數），{}成等比數列 ，則我們可以用m次錯位相減法求得{} 的前n項的和。
證明：設
， 均為常數。
故上式可以分為m組求和公式。則只需證明可以用m次錯位相減法求出。
下面我們用數學歸納法證明：
m=1，m=2時已證明。
假設m=i時，可以用i次錯位相減法求出，m=i+1時，
-得上式是乙個關於n的i次多項式與等比數列乘積的前n項和，根據遞推得上式可以用i次錯位相減法求得。故m=i+1時，需要用（i+1）次錯位相減法求得。
由得可以用m次錯位相減法求得。
故我們可以證得：
若{}為乙個m次多項式（m為正整數），{}成等比數列 ，則我們可以用m次錯位相減法求得{} 的前n項的和。錯位相減法的本質是可以讓數列達到降次的目的。
參考文獻
【1】史寧中.數學思想概論：數學中的歸納推理【m】。長春：東北師範大學出版社，2010；111.
【2】張士藻等著.數學方**簡明教程.南京：南京大學出版社，2008.
【3】史久一，朱梧檟著.化歸與歸納、模擬、聯想.大連：大連理工大學出版社，2008.
等比數列的前n項和
一 教學目標 1 掌握等比數列的前n項和公式及其推導思想和過程，會用等比數列求和公式進行計算，解決相關問題 2 通過實際問題，激發學生的學習興趣和強烈的求知慾 通過引導學生 等比數列的前n項和公式，讓學生感受如何去分析問題 解決問題，提高學生的綜合能力 培養學生的歸納 分類討論 知識遷移的能力 通過...
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山東張吉林 山東省萊州五中郵編261423 等比數列的前n項和公式是學習等比數列知識中的重點內容之一，其公式 當時，或 當q 1時，本身不僅蘊涵著分類討論的數學思想，而且用以推導等比數列前n項和公式的方法 錯位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現。本文變換視野 轉換思維，從不同的角度加以推導，以加深...
等比數列的前n項和公式
授課內容備註 課題 等比數列的前n項和公式 教學目標 知識目標 1 要求學生掌握求等比數列前n項的和的 公式 並了解推導公式所用的方法。技能目標 2 每乙個學生會直接應用求和公式計算，學會簡單的變形應用 德育目標 3 培養學生分析問題的能力和解決實際問題的能力，有特殊到 一般的認知規律 教材分析 教...