3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題
例1 2023年上海市黃浦區中考模擬第24題
已知二次函式y＝－x2＋bx＋c的影象經過點p(0, 1)與q(2, －3)．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）若點a是第一象限內該二次函式影象上一點，過點a作x軸的平行線交二次函式影象於點b，分別過點b、a作x軸的垂線，垂足分別為c、d，且所得四邊形abcd恰為正方形．
①求正方形的abcd的面積；
②聯結pa、pd，pd交ab於點e，求證：△pad∽△pea．
滿分解答
（1）將點p(0, 1)、q(2, －3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得所以該二次函式的解析式為y＝－x2＋1．
（2）①如圖1，設點a的座標為(x, －x2＋1)，當四邊形abcd恰為正方形時，ad＝ab．
此時ya＝2xa．
解方程－x2＋1＝2x，得．
所以點a的橫座標為．
因此正方形abcd的面積等於．
②設op與ab交於點f，那麼．
所以．又因為，
所以∠pae＝∠pda．
又因為∠p公用，所以△pad∽△pea．
圖1圖2
考點伸展
事實上，對於矩形abcd，總有結論△pad∽△pea．證明如下：
如圖2，設點a的座標為(x, －x2＋1)，那麼pf＝op－of＝1－(－x2＋1)＝x2．
所以．又因為，
所以∠pae＝∠pda．因此△pad∽△pea．
例2 2023年江西省中考第24題
某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：
（1）操作發現：
在等腰△abc中，ab＝ac，分別以ab、ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中df⊥ab於點f，eg⊥ac於點g，m是bc的中點，鏈結md和me，則下列結論正確的是填序號即可）．
①af＝ag＝；②md＝me；③整個圖形是軸對稱圖形；④md⊥me．
（2）數學思考：
在任意△abc中，分別以ab、ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，m是bc的中點，鏈結md和me，則md與me有怎樣的數量關係？請給出證明過程；
（3）模擬**：
在任意△abc中，仍分別以ab、ac為斜邊，向△abc的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，m是bc的中點，鏈結md和me，試判斷△mde的形狀．答
圖1 滿分解答
（1）填寫序號①②③④．
（2）如圖4，作df⊥ab，eg⊥ac，垂足分別為f、g．
因為df、eg分別是等腰直角三角形abd和等腰直角三角形ace斜邊上的高，
所以f、g分別是ab、ac的中點．
又已知m是bc的中點，所以mf、mg是△abc的中位線．
所以，，mf//ac，mg//ab．
所以∠bfm＝∠bac，∠mgc＝∠bac．
所以∠bfm＝∠mgc．所以∠dfm＝∠mge．
因為df、eg分別是直角三角形abd和直角三角形ace斜邊上的中線，
所以，．
所以mf＝eg，df＝ng．
所以△dfm≌△mge．所以dm＝me．
（3）△mde是等腰直角三角形．
圖4圖5
考點伸展
第（2）題和第（3）題證明△dfm≌△mge的思路是相同的，不同的是證明∠dfm＝∠mge的過程有一些不同．
如圖4，如圖5，∠bfm＝∠bac＝∠mgc．
如圖4，∠dfm＝90°＋∠bfm，∠mge＝90°＋∠mgc，所以∠dfm＝∠mge．
如圖5，∠dfm＝90°－∠bfm，∠mge＝90°－∠mgc，所以∠dfm＝∠mge．
2：如圖，已知sin∠abc=，⊙o的半徑為2，圓心o在射
線bc上，⊙o與射線ba相交於e、f兩點，ef=，
（1） 求bo的長；
（2） 點p在射線bc上，以點p為圓心作圓，
使得⊙p同時與⊙o和射線ba相切，
求所有滿足條件的⊙p的半徑.
如圖9，已知正比例函式和反比例函式的圖象都經過點．
（1）求正比例函式和反比例函式的解析式；
（2）把直線oa向下平移後與反比例函式的圖象交於點，求的值和這個一次函式的解析式；
（3）第（2）問中的一次函式的圖象與軸、軸分別交於c、d，求過a、b、d三點的二次函式的解析式；
（4）在第（3）問的條件下，二次函式的圖象上是否存在點e，使四邊形oecd的面積與四邊形oabd的面積s滿足：？若存在，求點e的座標；
若不存在，請說明理由．
【017】如圖，已知拋物線經過，兩點，頂點為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將繞點順時針旋轉90°後，點落到點的位置，將拋物線沿軸平移後經過點，求平移後所得圖象的函式關係式；
（3）設（2）中平移後，所得拋物線與軸的交點為，頂點為，若點在平移後的拋物線上，且滿足的面積是面積的2倍，求點的座標．
如圖（9）-1，拋物線經過a（，0），c（3，）兩點，與軸交於點d，與軸交於另一點b．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線將四邊形abcd面積二等分，求的值；
（3）如圖（9）-2，過點e（1，1）作ef⊥軸於點f，將△aef繞平面內某點旋轉180°得△mnq（點m、n、q分別與點a、e、f對應），使點m、n在拋物線上，作mg⊥軸於點g，若線段mg︰ag＝1︰2，求點m，n的座標．
3 2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題
例1 2013年上海市黃浦區中考模擬第24題 已知二次函式y x2 bx c的影象經過點p 0,1 與q 2,3 1 求此二次函式的解析式 2 若點a是第一象限內該二次函式影象上一點，過點a作x軸的平行線交二次函式影象於點b，分別過點b a作x軸的垂線，垂足分別為c d，且所得四邊形abcd恰為正方...
幾何證明與計算
2012年寒假九年級數學學案二 幾何證明與計算 一 基礎回顧 1.如圖，菱形abcd的周長為20cm，de ab，垂足為e，則下列結論中正確的個數為 de 3cm eb 1cm a 3個 b 2個c 1個 d 0個 2.2011山東菏澤 一次數學活動課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則 等於 a...
幾何證明和計算
一 合理構建直角三角形，運用勾股定理求線段的長度。常用方法 1 作垂直線段直接構建直角三角形 2 連線某兩點，證所得的新三角形是直角三角形，再運用勾股定理求線段的長度。例題 如圖，梯形中，點是梯形外的兩點，且.1 求證 2 若求線段的長 1 證明 梯形中，且為等邊三角形.1分 又2分 在和中3分 4...