例1 2023年上海市黃浦區中考模擬第24題
已知二次函式y＝－x2＋bx＋c的影象經過點p(0, 1)與q(2, －3)．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）若點a是第一象限內該二次函式影象上一點，過點a作x軸的平行線交二次函式影象於點b，分別過點b、a作x軸的垂線，垂足分別為c、d，且所得四邊形abcd恰為正方形．
①求正方形的abcd的面積；
②聯結pa、pd，pd交ab於點e，求證：△pad∽△pea．
動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「13黃浦24」，拖動點a在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，∠pae與∠pda總保持相等，△pad與△pea保持相似．
請開啟超級畫板檔名「13黃浦24」，拖動點a在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，∠pae與∠pda總保持相等，△pad與△pea保持相似．
思路點撥
1．數形結合，用拋物線的解析式表示點a的座標，用點a的座標表示ad、ab的長，當四邊形abcd是正方形時，ad＝ab．
2．通過計算∠pae與∠dpo的正切值，得到∠pae＝∠dpo＝∠pda，從而證明△pad∽△pea．
滿分解答
（1）將點p(0, 1)、q(2, －3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得所以該二次函式的解析式為y＝－x2＋1．
（2）①如圖1，設點a的座標為(x, －x2＋1)，當四邊形abcd恰為正方形時，ad＝ab．
此時ya＝2xa．
解方程－x2＋1＝2x，得．
所以點a的橫座標為．
因此正方形abcd的面積等於．
②設op與ab交於點f，那麼．
所以．又因為，
所以∠pae＝∠pda．
又因為∠p公用，所以△pad∽△pea．
圖1圖2
考點伸展
事實上，對於矩形abcd，總有結論△pad∽△pea．證明如下：
如圖2，設點a的座標為(x, －x2＋1)，那麼pf＝op－of＝1－(－x2＋1)＝x2．
所以．又因為，
所以∠pae＝∠pda．因此△pad∽△pea．
例2 2023年江西省中考第24題
某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：
（1）操作發現：
在等腰△abc中，ab＝ac，分別以ab、ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中df⊥ab於點f，eg⊥ac於點g，m是bc的中點，鏈結md和me，則下列結論正確的是填序號即可）．
①af＝ag＝；②md＝me；③整個圖形是軸對稱圖形；④md⊥me．
（2）數學思考：
在任意△abc中，分別以ab、ac為斜邊，向△abc的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，m是bc的中點，鏈結md和me，則md與me有怎樣的數量關係？請給出證明過程；
（3）模擬**：
在任意△abc中，仍分別以ab、ac為斜邊，向△abc的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，m是bc的中點，鏈結md和me，試判斷△mde的形狀．答
圖1 動感體驗
請開啟幾何畫板檔名「13江西24」，拖動點a可以改變△abc的形狀，可以體驗到，△dfm≌△mge保持不變，∠dme＝∠dfa＝∠ega保持不變．
請開啟超級畫板檔名「13江西24」，拖動點a可以改變△abc的形狀，可以體驗到，△dfm≌△mge保持不變，∠dme＝∠dfa＝∠ega保持不變．
思路點撥
1．本題圖形中的線條錯綜複雜，怎樣尋找數量關係和位置關係？最好的建議是按照題意把圖形規範、準確地重新畫一遍．
2．三個中點m、f、g的作用重大，既能產生中位線，又是直角三角形斜邊上的中線．
3．兩組中位線構成了平行四邊形，由此相等的角都標註出來，還能組合出那些相等的角？
滿分解答
（1）填寫序號①②③④．
（2）如圖4，作df⊥ab，eg⊥ac，垂足分別為f、g．
因為df、eg分別是等腰直角三角形abd和等腰直角三角形ace斜邊上的高，
所以f、g分別是ab、ac的中點．
又已知m是bc的中點，所以mf、mg是△abc的中位線．
所以，，mf//ac，mg//ab．
所以∠bfm＝∠bac，∠mgc＝∠bac．
所以∠bfm＝∠mgc．所以∠dfm＝∠mge．
因為df、eg分別是直角三角形abd和直角三角形ace斜邊上的中線，
所以，．
所以mf＝eg，df＝ng．
所以△dfm≌△mge．所以dm＝me．
（3）△mde是等腰直角三角形．
圖4圖5
考點伸展
第（2）題和第（3）題證明△dfm≌△mge的思路是相同的，不同的是證明∠dfm＝∠mge的過程有一些不同．
如圖4，如圖5，∠bfm＝∠bac＝∠mgc．
如圖4，∠dfm＝90°＋∠bfm，∠mge＝90°＋∠mgc，所以∠dfm＝∠mge．
如圖5，∠dfm＝90°－∠bfm，∠mge＝90°－∠mgc，所以∠dfm＝∠mge．
幾何證明及通過幾何計算進行說理問題
3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題 例1 2013年上海市黃浦區中考模擬第24題 已知二次函式y x2 bx c的影象經過點p 0,1 與q 2,3 1 求此二次函式的解析式 2 若點a是第一象限內該二次函式影象上一點，過點a作x軸的平行線交二次函式影象於點b，分別過點b a作x軸的垂線，垂足...
幾何證明與計算
2012年寒假九年級數學學案二 幾何證明與計算 一 基礎回顧 1.如圖，菱形abcd的周長為20cm，de ab，垂足為e，則下列結論中正確的個數為 de 3cm eb 1cm a 3個 b 2個c 1個 d 0個 2.2011山東菏澤 一次數學活動課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則 等於 a...
幾何證明和計算
一 合理構建直角三角形，運用勾股定理求線段的長度。常用方法 1 作垂直線段直接構建直角三角形 2 連線某兩點，證所得的新三角形是直角三角形，再運用勾股定理求線段的長度。例題 如圖，梯形中，點是梯形外的兩點，且.1 求證 2 若求線段的長 1 證明 梯形中，且為等邊三角形.1分 又2分 在和中3分 4...