解題是數學學習的核心內容.是真正發生數學教育的關鍵環節，解題是掌握數學，學會「數學地思維」的基本途徑.概念的掌握、技能的熟練、定理的理解、能力的培養、素質的提高等都離不開解題實踐活動，數學解題的思維過程是指從理解問題開始，從經過探索思路，轉換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。
對於數學解題思維過程，g . 波利亞提出了四個階段，即弄清問題、擬定計畫、實現計畫和回顧。這四個階段的思維過程實質可以用下列八個字加以概括：理解、轉換、實施、反思。
第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。要充分理解題意，把問題從多餘的敘述過程中解脫出來，並用數學語言進行清晰的表述，對問題進行剖析，明確哪些是問題給出的條件，哪些是解題的目標。把問題置於相關內容的數學知識背景之中，發現哪些已有知識有可能利於建立起已知和未知間的聯絡。
第二階段的轉換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發現過程，是思維策略的選擇和調整過程。
第三階段的計畫實施是解決問題過程的實現，它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。
第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發展數學思維的乙個重要方面，是乙個思維活動過程的結束包含另乙個新的思維活動過程的開始。
就**解題的思維過程，我們可以從乙個初中的例子得出說明．
定理等腰三角形的兩個底角相等．
已知在△abc中，ab=ac.
求證 ∠b=∠c．
分析欲證兩個角相等，根據所學過的知識，我們可以設想其為全等三角形的對應角(全等法的應用)，再根據等腰三角形的特徵，又可以將等腰三角形拿起來、作乙個空中的翻轉，使其與原來的位置重合(這正是全等形的定義，△abc≌△acb)，從而∠b與∠c重合(這正是角相等的定義)．下來，只須將這一直覺思路用嚴密的數學語言表達出來(直覺發現、邏輯證明)．
這裡的心理過程，已體現了問題表徵對解題方向的確定和解題效率的提高有促進作用.
證明 ：在△abc與△acb中，有
ab=ac（已知），
ac=ab（已知），
∠a=∠a（公共角），
（或bc=cb）（公共邊），
得 △abc≌△acb (sas或sss)
從而 ∠b=∠c
從書寫順序看，這個定理的證明過程可以分成三步（解題過程的結構分析）：
①根據題意畫出圖形，根據圖形寫出已知、求證．這是乙個認識自己所面臨的問題、並對問題進行心理表徵的過程．
②尋找解題思路，溝通已知與求證的聯絡．這調動了全等三角形的知識，數形結合地運用了直覺思維(空中翻轉、圖形重合、角重合)．這實際上是應用解題策略、並進行資源的提取與分配的過程．
③給出證明．用到了三角形全等的判定定理與性質定理，這是乙個嚴格的推理過程．
這個分析表明，數學解題有形象思維、直覺思維和邏輯思維的綜合作用.
可見，數學解題的思維過程是這樣乙個「三位一體」的工作：
①有用捕捉．即通過觀察從理解題意中捕捉有用的資訊，主要是弄清條件是什麼?結論是什麼?各有幾個?
如何建立條件與結論之間的邏輯聯絡?通過理解題意找出了3條資訊，一條是符號資訊ab=ac，由題目直接告訴我們；另兩條是由圖形顯示出來的：兩個三角形(△abc與△acb)，公共角∠a＝∠a（或公共邊bc=cb）．知識經驗是有用捕捉的基礎．
②有關提取．即在「有用捕捉」的刺激下，通過聯想而從解題者頭腦中提取出解題依據與解題方法，從記憶網路中檢索出了3條資訊：等式的對稱性，全等三角形的判別定理，全等三角形的性質定理．良好的認知構結和機智的策略選擇是連續提取、不斷捕捉的基礎．
③有效組合．將上述兩組資訊資源，加工配置成乙個和諧的邏輯結構．邏輯思維能力是有效組合的基礎．
注重解題策略的研究已經構成中國解題教學的乙個特色，它可以看成是對波利亞現代啟發性解題策略研究的繼承與發展。
(1)策略是指導行動的方針(戰略性的)，同時也是增強效果、提高效率的藝術，它區別於具體的途徑或方式(戰術性的)．數學解題的策略是為了實現解題目標而採取的方針．解題策略的思維基礎是邏輯思維、形象思維、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的，單靠邏輯是不夠的．
在《數學習題理論》(戴再平，2023年)中提出了八個解題策略：列舉法、模式識別、問題轉化、中途點、以退求進、推進到一般、從整體看問題、正難則反．
在《數學思維論》(任樟輝，2023年)中提出了十個解題策略：以簡馭繁、進退互用、數形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動靜轉換、分合相輔、引參求變、以美啟真．並且認為數學思維策略的研究就是數學解題策略的研究．
在《數學解題學引論》(羅增儒，2023年)中提出了十個解題策略：模式識別、對映化歸、差異分析、分合併用、進退互化、正反相輔、動靜轉化、數形結合、有效增設、以美啟真．
(2)解題策略介於具體的求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉化為操作的橋梁，作為方法，一方面它是用來具體指導解題的方法，另一方面它又是運用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創造解題方法的方法．
如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規則，那麼這些規則應該具有迅速找到較優解題操作的基本功能，能夠減少嘗試或失敗的次數，能夠節省探索的時間和縮短解題的長度，體現出選擇的機智和組合的藝術。
「直角型」在幾何解題與證明中的運用
學習目標 通過對本章知識的小結與梳理，進一步掌握特殊三角形 特殊四邊形的一些判定和性質，強化我們的基本功，提高解題能力，最終提公升我們的思維品質。一 知識點 1.知識網路 二 例題學習 1.如圖，過正方形abcd的頂點b作直線l，過a，c作l的垂線，垂足分別為e，f 若ae 1，cf 3，則ab的長...
幾何證明中的旋轉
一 例題評講 一 正三角形型別 在正 abc中，p為 abc內一點，將 abp繞a點按逆時針方向旋轉600，使得ab與ac重合。經過這樣旋轉變化，將圖 1 1 a 中的pa pb pc三條線段集中於圖 1 1 b 中的乙個 p cp中，此時 p ap也是什麼三角形？你會證明嗎？例1.如圖 1 1 設...
立體幾何中的有關證明
100080 北京中國人民大學附中梁麗平 題型 立體幾何中的證明往往與計算結合在一起考查。三垂線定理及其逆定理是重點考查的內容。範例選講 例1 已知斜三稜柱abc a b c 的底面是直角三角形，c 90 側稜與底面所成的角為 0 90 b 在底面上的射影d落在bc上。1 求證 ac 面bb c c...