1. 新課內容：三角形中證明不等關係常用定理有：
（1）三角形任兩邊之和大於第三邊。
（2）三角形的乙個外角大於任何乙個與它不相鄰的內角。
（3）同一三角形中大邊對大角、大角對大邊。
2. 常用方法：
（1）構造基本三角形。
（2）構造全等三角形或等腰三角形化成相等的關係來研究不等的問題。
【典型例題】
[例1] 已知中，，求證：
分析：欲比較與的大小，必須設法製造乙個角使其等於，且與在同乙個三角形中。
證明：以a為頂點，ac為一邊作交bc於d
在中，則且
∵ ∴
∴ 又
[例2] 已知中，ab=ac，ae=cf，求證：
分析：欲證，必須將2ef和bc歸到乙個三角形中，這樣必須新增輔助線，把bc平移到過f點，構造出乙個新的三角形。
證明：過f作fg∥bc並擷取fg=bc，連bg、ge再連bf。
在和中∵ gf=bc gf∥bc ∴ bf=bf ∴
∴ gb=fc gb∥fc 又 ∵ ae=cf ∴ ae=gb
∵ ab=ac ae=cf ∴ eb=af
∵ ac∥gbge=ef
又 （當e、f分別為ab、ac中點時，等號成立）
gf=bc ∴
[例3] 在中，ab=ac，p是形內一點，且，求證：
分析：條件與圖中pb、pc沒有直接聯絡，為了能從條件的大角匯出大邊，所以適當將圖形作適當的移動。即讓繞a點旋轉得，問題轉化成比較pc與qc，只
須證即可。
證明：在外作，且aq=ap，連cq、pq
∵ ab=ac 則（sas）（即把旋轉到acq位置）
從而 cq=bp
在中，由於
∵∴ 由即 ∴
[例4] 已知：如圖p是的的平分線ad上任意一點，求證：
。分析：利用角平分線性質 ∵ ，把ac沿ad翻摺到ab上，使ab－ac得mb線段，在中研究不等關係。
證明：在ab上截am=ac 連mp
在和中 ∵ am=ac ap=ap
∴ （sas）（即將沿ap翻摺）
∴ mp=pc 則
在中 ∵
即[例5] 已知：如圖，在中，d是bc的中點，ed⊥df，求證：。
分析：利用中線加倍延長法，把be、cf、ef集中在乙個三角形中，利用兩邊和大於第三邊來證。
證明：延長ed到m使dm=ed，連cm、fm
∵ bd=dc ed=dm
∴ （sas） ∴ be=cm
在中又 ∵ ed⊥df ed=dmef=fm
即同樣再舉一例：
已知：如圖，中，ad是外角平分線，p為ad上任一點，求證：
。證明：在ba延長線上截ea=ab ∵ ae=ac ap=ap
∴ （sas） ∴ ep=pc
則在中 ∵
即 ∴
[例7] 已知：如圖在中，d、e為bc上兩點，且bd=ce，求證：
證明：過b、d分別作ae、ac平行線相交於f，fd與ab交於g
則有：（1） （2）
（1）+（2）得：
又 ∵ fd∥ac fb∥aebd=ce
fb=ae fd=ac ∴
小結：本題也是構造全等三角形證明了不等關係，通過以上幾個例題說明幾何中不等量關係的證明主要運用我們所學的性質、定理及全等三角形的應用，這些內容一看就會一想就通，但一經引伸和發展，就體現了一些技巧性和靈活性。這節內容對培養同學思維能力，解決問題的能力是有益的，望同學們認真學習。
【模擬試題】
一. 填空題：（7×5分）
1. 若m人在a天可以完成一項工作，那麼人完成這項工作需天。
2. 乙個兩位數的數字之和是6，如果把十位數字與個位數字對調，那麼所得兩位數與原來的兩位數之比為，則原來的兩位數是
3. 有三個連續正整數，其倒數之和為47/60，則這三個數是
4. 某工地調來72人參加挖土和運土，已知3人挖出的土1人恰好能全部運走。現考慮如何調配勞動力才使挖出的土能及時運走且不窩工，解決此問題，可設派x人挖土，其他人運土。
列方程為上述所列方程中，正確的有
5. 一條輪船從a港到b港順水航行需6小時，從b港到a港逆水航行需8小時。則在靜水條件下，從a港到b港需小時。
6. 一輛汽車有甲地開往乙地，如果車速提高20%，可以比原定時間提前1小時到達，如果要提前2小時到達，那麼車速應比原來車速提高
7. 在距離為d的跑道上a、b、c作勻速賽跑，到終點時，a超過b為20公尺，b超過c為10公尺，a超過c為28公尺，那麼d為公尺。
二. 列方程（組）解應用題：
1. 有一分數，約分後為2/3。若分子分母加上同乙個數後為8/11；若分子分母減去比所加的數大1的數後為5/9。求：這個分數是多少。（15分）
2. 甲桶盛滿酒精，乙桶盛滿水，乙桶的容積是甲桶的2倍。現從兩桶中各取6公升，然後把酒精注入乙桶、水注入甲桶，這樣甲、乙兩桶中酒精與水的比相等。
求：甲、乙兩桶的容積。（15分）
3. 三輛汽車a、b、c各以一定的速度同向而行。b比c遲5分鐘出發，出發後20分鐘追上c。
若a比b遲10分鐘出發，出發後50分鐘追上c。求：a在出發後追上b的時間。
（15分）
4. 甲、乙兩人分別從相距36千公尺的a、b兩地同時相向而行。甲從a地出發1千公尺後，發現有東西遺忘在a地，便立即返回，取了東西後又立即從a地向b地行進。
這樣甲、乙兩人恰在a、b中點處相遇。又知甲比乙每小時多走0.5千公尺。
求：甲、乙兩人的速度。（20分）
5.（附加題，20分）有一片牧場，草長得一樣密，一樣快。乙知70頭牛在24天裡把草吃完，而30頭牛就得吃60天。如果要在96天內把牧場的草吃完，問至少需要多少頭牛？
三. 證明題：
1. 已知：p為內任一點，求證：
。2. 中，ab=ac，d為內一點，且，求證：。
3. 如圖，已知，等腰三角形abc，ad∥bc，求證：。
4. 如圖，已知，d、e為內兩點，求證：。
5. 如圖，p是的平分線ad上任意一點，，求證：
。【試題答案】
一.1. 2. 42 3. 3，4，5 4. ①②④ 5. 6. 50 7. 100
二.1. 解：設此分數為，開始所在數為。
則 ∴ 原分數為
2. 解：設甲桶的容積是公升，乙桶容積公升。
則 ∴ 甲桶9公升，乙桶18公升。
3. 解：設a、b、c速度分別為、、
則又設a追上b時間為m 則 ∴ ∴
4. 解：設乙的速度為，甲的速度
5. 解：設這片草量為，每天生長草量為，至少需頭牛在96天把草吃完
則有由得
代入到得
三. 1. 證明：延長bp交ac於d 則在中，
在中，同理可得：
三式相加：
在中在中在中三式相加：
2. 證明：以a為頂點，ac為一邊在外作
在ae上擷取ae=ad 連ec、ed 則可證
∴ 在中 ad=ae ∴
3. 證明：延長ba至e，使ae=ac 鏈結de
在中即ab=acad∥bc
ad=ad ∴ （sas） ∴ ed=cd
4. 證明：延長bd、ce交於點f 延長bf交ac於h
中兩邊都加上
5. 證明：在ab上擷取am=ac 連pm 則可證
則在中【勵志故事】
你是對的，則世界就是對的
你認為你行，你就行。
拿破崙·希爾講過這樣乙個故事：乙個星期六的早晨，乙個牧師正在為講道詞傷腦筋，他的太太出去買東西了，外面下著雨，小兒子又煩躁不安，無事可做。後來他隨手拿起一本舊雜誌，順手翻一翻，看到一張色彩鮮麗的巨幅圖畫，那是一張世界地圖。
他於是把這一頁撕下來，把它撕成小片，丟到客廳地板上說：
「強尼，你把它拼起來，我就給你兩毛五分錢。」
牧師心想他至少會忙上半天，誰知不到十分鐘，他書房就響起敲門聲，他兒子已經拼好了，牧師真是驚訝萬分，強尼居然這麼快就拼好了。每一片紙頭都整整齊齊地排在一起，整張地圖又恢復了原狀。
「兒子啊，怎麼這麼快就拼好啦？」牧師問。
(待續)
邊角不等關係的證明思路
孫殿雙內蒙古根河電業局學校孫殿雙 在三角形中，關於邊角不等關係，有如下性質 三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角.九年義務教育教材 幾何 第二冊p14推論3 三角形兩邊之和大於第三邊.推論 三角形兩邊的差小於第三邊.九年義務教育教材 幾何 第二冊p8 在乙個三角形中，如果兩邊不等，那麼它們所...
幾何證明中的旋轉
一 例題評講 一 正三角形型別 在正 abc中，p為 abc內一點，將 abp繞a點按逆時針方向旋轉600，使得ab與ac重合。經過這樣旋轉變化，將圖 1 1 a 中的pa pb pc三條線段集中於圖 1 1 b 中的乙個 p cp中，此時 p ap也是什麼三角形？你會證明嗎？例1.如圖 1 1 設...
幾何證明中的解題策略
解題是數學學習的核心內容.是真正發生數學教育的關鍵環節，解題是掌握數學，學會 數學地思維 的基本途徑.概念的掌握 技能的熟練 定理的理解 能力的培養 素質的提高等都離不開解題實踐活動，數學解題的思維過程是指從理解問題開始，從經過探索思路，轉換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。對於數學解題...