第一部分:基礎複習
九年級數學(上)
第一章:證明(二)
一、中考要求:
1.經歷探索、猜測、證明的過程,進一步體會證明的必要性,發展學生初步的演繹推理能力.
2.進一步掌握綜合法的證明方法,結合例項體會反證法的含義.
3.了解作為證明基礎的幾條公理的內容,能夠證明與三角形、線段垂直平分線、角平分線等有關的性質、定理及判定定理.
4.結合具體例子了解逆命題的概念,會識別兩個互逆命題,並知道原命題成立其逆命題不一定成立.
5.能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線和已知角的平分線;已知底邊及底邊上的高,能用尺規作出等腰三角形
二、中考卷研究
(一)中考對知識點的考查:
2012、2023年部分省市課標中考涉及的知識點如下表:
(二)中考熱點:
新課標對本章的要求不高,但比較簡單的幾何證明題仍是2023年中考的熱點題型
三、中考命題趨勢及複習對策
本章主要考查對命題、定理等概念的理解及運用定義、定理證明問題的過程,在中考題中以證明題的形式出現,一般佔5~7分,因此同學們在複習時應注意認真理解概念,分清題目的條件和結論,正確地寫出證明過程。
i)考點突破★★★
考點1:利用定理證明
一、考點講解:
公理1、一直線截兩條平行線所得的同位角相等,
公理2.兩條直線被第三條直線所截,若同位角相等,那麼這兩條直線平行.
公理3.若兩個三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊,或三邊)分別相等,則這兩個三角形全等.
公理4.全等三角形的對應邊相等,對應角相等.
定理1. 平行線的性質定理:兩直線平行,同位角、內錯角相等,同旁內角互補.
定理2.平行線的判定定理:同位角相等,兩直線平行;內錯角相等,兩直線平行;同旁內角互補兩直線平行.
定理3.三角形的內角和定理及推論:三角形的內角和等於180°,三角形的外角等於不相鄰的兩個內角的和,三角形的外角大於任何乙個和它不相鄰的內角.
定理4.直角三角形全等的判斷定理:有一條直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等.
定理5.角平分線性質定理及逆定理:角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上;三角形的三條角平分線相交於一點(內心)
定理6.垂直平分線性質定理及逆定理:線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等;到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上;三角形的三邊的垂直平分線相交於一點(外心)
定理7.三角形的中位線定理:三角形的中位線平行於第三邊,且等於第三邊的一半.
定理8、等腰三角形,等邊三角形,直角三角形的性質和判定定理.
二、經典考題剖析:
【考題1-1】(深圳南山)如圖l-l-1,ab、cd交於點e,ad=ae,cb=ce,f、g、h分別是de、be、ac的中點.
(1)求證:af⊥de;
(2)求證:fh= gh.
證明:【考題1-2】(湛江) 在△abc中,∠acb=90°,ac=bc,直線mn經過點c,且ad⊥mn於d,be⊥mn於e.
(1)當直線mn繞點c旋轉到圖1的位置時,
求證:①△adc≌△ceb;②de=ad+be;
(2)當直線mn繞點c旋轉到圖2的位置時,求證:de=ad-be;
(3)當直線mn繞點c旋轉到圖3的位置時,試問de、ad、be具有怎樣的等量關係?請寫出這個等量關係,並加以證明..
三、針對性訓練:
1.如圖1-1-4,rt△abc中,ac≠ab,ad是斜邊上的高;de⊥ab,df⊥ac,垂足分別是e、f,則圖中與∠c(除∠c外)相等的角的個數是( )
a.2 b.3 c.4 d.5
2.如圖1-1-5,△abc中,△abc和△acb的外角平分線交於點o,設∠boc=α,則∠a等於()
3.如圖1-1-6,△abc是不等邊
三角形,de=bc,以d、e為兩個頂點作位置不同的三角形,使所作三角形與△abc全等,這樣的三角形最多可作出( )
a.2個 b.4個 c.6個 d.8個
4.如圖1-1-7,△abc是直角三角形,bc是斜邊,
△abp繞點a逆時針旋轉後,能與△acp重合,
如果ap=3,那麼pp′的長等於( )
a.3 b.2 c.3 d.4
5.如圖1-1-8,在rt△abc中,∠bca=90°,點d、e、f分別是三邊的中點,且cf=2 cm,則de=
cm.6、如圖1-1-9,在△abc和△def中,已知ab=
de,要使△abc≌△def,根據三角形全等的判定定理,還需新增條件填上你認為正確的一種).
7.在方格紙上有乙個△abc,它的頂點位置如圖 1-1-10所示,則這個三角形是________三角形.
8.如圖1-1-1 所示,把△abc繞點c順時針旋轉
35°,得δa′b′c′交ac於點d,若∠a′dc
=90o,則∠a
9.如圖1-l-12,△abc中,ab=ac,de是ab的中垂線,△bce的周長為14,bc=6,則ab長為
10 如圖1-1-13,在△abc中,∠bac=90 在,延長 ba 到d,使ad=ab,點e、f分別為邊bc、ac的中點.(1)求證:df=be;(2)過點a作ag∥bc,交 df於點 g,求證:ag=dg.
考點2:命題
一、考點講解:
1.命題的組成:命題由條件和結論兩部分組成.
2.命題的形式:命題的形式通常寫成「如果……,那
麼……」的形式.
3.真命題與假命題:正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題(注意:乙個命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題〕
二、經典考題剖析:
【考題2-1】(湖南長沙)請用「如果…,那麼……」的形式寫乙個命題
【考題2-2】(南寧)如圖1-1-14,下
面四個條件中,請你以其中兩個為已知條件,第三
個為結論,推出乙個正確的命題
(只需寫出一種情況)
1 ae=ad ②ab=ac
③ob=oc ④∠b=∠c
【考題2-3】(江蘇鹽城)下列命題中,假命題是( )
a.平行四邊形的對角線互相平分
b.矩形的對角線相等
c.等腰梯形的對角線相等
d.菱形的對角線相等且互相平分
三、針對性訓練:
1.下列命題中,真命題是( )
a.面積相等的兩個三角形是全等三角形
b.有兩邊及一組對應角相等的兩個三角形全等
c.全等三角形的周長相等
d.有一條直角邊對應相等的兩個三角形全等
2.下列命題中正確的是( )
a.實數是有理數b.無限小數是無理數
c.數軸上的點與有理數一一對應
d.數軸上的點與實數一一對應
3.下列命題為假命題的是( )
a.等腰三角形的兩腰相等
b.等腰三角形的兩底角相等
c.等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高重合
d.等腰三角形是中心對稱圖形
4.下列的真命題中,它的逆命題也是真命題的是()
a.全等三角形的對應角相等
b.兩個圖形關於軸對稱,則兩個圖形是全等形
c.等邊三角形是銳角三角形
d.直角三角形中,如果乙個銳角等於30°,那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
5.如圖1-1-15,在△abc中,cd⊥ ab,請你新增乙個條件,寫出乙個正確的結論(不在圖中新增輔助線)
條件結論6.將命題「同角的餘角相等」改寫成「如果…,那
麼…」的形式是
7.如圖1-1-16,在△abc中,點d、e分別在邊ab、ac上,給出5個論斷:①cd⊥ab;②be⊥ac;③ae=ce;④∠abe=30°;⑤cd=be
⑴如果論斷①、②、③、④都成立,那麼論斷⑤一定成立嗎?答
⑵從論斷①、②、③、④中選取3個作為條件,將
論斷⑤作為結論,組成乙個真命題,那麼你選的3個論斷是只需填論斷的序號)
⑶用⑵中你選的3個論斷作為條件,論斷⑤作為結論,組成一道證明題,畫出圖形,寫出已知、求證,並加以證明.
考點3:尺規作圖
一、考點講解:
1.五種基本作圖:作一條線段等於已知線段;作乙個角等於已知角;作角的平分線;作線段的垂直平分線;作三角形.
2.尺規作圖要求:了解尺規作圖的步驟,會寫已知、求作和作法(不要求證明).
二、經典考題剖析:
【考題3-1】(湖北宜昌)如圖1-l-17, 已知△abc,
(1)作∠b的角平分線(要求:用尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)若∠c=90○,∠b=60○,bc=4,∠b的平分
線交ac於點d,請求出線段bd的長.
三、針對性訓練:
1.利用基本作圖,不能作出唯一三角形的是( )
a.已知三邊 b.已知兩邊及夾角
c.已知兩角及夾邊 d.已知兩邊及其中一邊的對角
2.用尺規作圖,不能作出唯一直角三角形的是( )
a.已知兩條直角邊 b.已知兩個銳角
c.已知一直角邊和一銳角d已知斜邊和一直角邊
3.作線段的垂直平分線的理論,根據是_______和
兩點確定一條直線.
4.請根據圖1-l-19所示的作圖痕跡,填寫畫線
段ab的垂直平分線的步驟.
第一步:分別以為圓心,以大於_________半的長度為半徑畫弧,兩弧在ab的兩側分別相交於點_____和_______;
第二步:經過點_______和______畫______,直線
cd就是線段ab的垂直平分線.
5、∠aob如圖1-l-20所示,請用直尺和圓規作出∠aob的平分線.要求保留作圖痕跡,不寫作法)
第一章 證明 二 試題
九年級數學 上 一 中考要求 1 經歷探索 猜測 證明的過程,進一步體會證明的必要性,發展學生初步的演繹推理能力 2 進一步掌握綜合法的證明方法,結合例項體會反證法的含義 3 了解作為證明基礎的幾條公理的內容,能夠證明與三角形 線段垂直平分線 角平分線等有關的性質 定理及判定定理 4 結合具體例子了...
九上第一章圖形與證明 小結
第一章圖形與證明單元測試 班級姓名學號 主備人 知識回顧 基礎訓練 1.梯形的中位線長為3,高為2,則該梯形的面積為 2 若等腰三角形的乙個外角為70 則它的底角為度。3.某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm,則它的周長為 a 9cm b 12cm c 15cm d 12cm或15cm 4.已...
第一章證明 二
九年級 上 數學試題第一章證明 二 班級姓名成績 一 選擇題 1 已知 如圖,在 abc中,ab ac,bc bd,ad de eb,則 a的度數是 a 30 b 36 c 45 d 54 2 如圖,等邊 abc中,bd ce,ad與be相交於點p,則 ape的度數是 a.45b.55c.60d.7...