2．直角三角形（二）
壩陵中學童文方
一、學生知識狀況分析
學生在學習直角三角形全等判定定理「hl」之前已經接觸過，只是原來僅屬於了解階段。現在是要重新認識這個定理，並且要掌握這個定理的證明以及利用這個定理解決相關問題有乙個較高的要求。
二、教學任務分析
本節課的教學目標是：
1．知識目標：
①能夠證明直角三角形全等的「hl」的判定定理，進一步理解證明的必要性
②利用「hl』』定理解決實際問題
2．能力目標：
①進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力
②初步學會從數學的角度提出問題，理解問題，體驗解決問題的多樣性，發展實踐能力和創新精神．
3．情感與價值觀要求
①積極參與數學活動，對數學有好奇心
②形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣
4．教學重點及難點
hl定理的推導及應用
三、教學過程分析
本節課設計了六個教學環節：第一環節：提問質疑；第二環節：引入新課；第三環節：做一做；第四環節：議一議；第五環節：．課時小結；第六環節：課後作業。
第一環節：提問質疑
我們曾從摺紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出「等邊對等角」。那麼我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明「等邊對等角」．
要求學生完成，一位學生的過程如下：
已知：在△abc中， ab=ac．
求證：∠b=∠c．
證明：過a作ad⊥bc，垂足為c，
∴∠adb=∠adc=90°
又∵ab=ac，ad=ad，
∴△abd≌△acd．
∴∠b=∠c（全等三角形的對應角相等）
在實際的教學過程中，有學生對上述證明方法產生了質疑。質疑點在於「在證明△abd≌△acd時，用了「兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個三角形全等」．而我們在前面學習全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的．可以畫圖說明．(如圖所示在abd和△abc中，ab=ab，∠b=∠b，ac=ad，但△abd與△abc不全等)」 ．
也有學生認同上述的證明。
教師順水推舟，詢問能否證明：「在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．」，從而引入新課。
第二環節：引入新課
1．「hl」定理．由師生共析完成
已知：在rt△abc和rt△a′b′c′中，∠c=∠c′=90°，ab=a′b′，bc=b′c′．
求證：rt△abc≌rt△a′b′c′
證明：在rt△abc中，ac=ab2一bc2(勾股定理)．
又∵在rt△ a' b' c'中，a' c' =a'c'=a'b'2一b'c'2 (勾股定理)．
ab=a'b'，bc=b'c'，ac=a'c'．
∴rt△abc≌rt△a'b'c' (sss)．
教師用多**演示：
定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
這一定理可以簡單地用「斜邊、直角邊」或「hl」表示．
從而肯定了第一位同學通過作底邊的高證明兩個三角形全等，從而得到「等邊對等角」的證法是正確的．
練習活動：利用投影打出題目判斷對錯，讓學生說明理由。
活動目的：讓學生辨析乙個命題的真假不是靠感覺而是依賴於原有的定理或公理。要經過很好的理性思考之後才能判斷對錯。
活動過程如下：
判斷下列命題的真假，並說明理由：
(1)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等；
(2)斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等；
(3)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；
(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等．
對於（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這裡教師將講解的重心放在了問題（4），學生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支援，教師引導學生證明．
已知：r△abc和rt△a'b ' c'，∠c=∠c'=90°，bc=b'c'，bd、b'd'分別是ac、a'c'邊上的中線且bd—b'd' (如圖)．
求證：rt△abc≌rt△a'b'c'．
證明：在rt△bdc和rt△b'd'c'中，
∵bd=b'd',bc=b'c',
∴rt△bdc≌rt△b 'd 'c ' (hl定理)．
cd=c'd'．
又∵ac=2cd，a 'c '=2c 'd '，∴ac=a'c'．
∴在rt△abc和rt△a 'b 'c '中，
∵bc=b'c '，∠c=∠c '=90°，ac=a'c '，
∴rt△abc≌cort△a'b'c(sas)．
活動效果及注意事項:通過上述師生共同活動，學生板書推理過程之後可發動學生去糾錯，教師最後再總結。這樣的評價活動的效果估計應該是更好一些。
第三環節：做一做
問題你能用三角尺平分乙個已知角嗎? 請同學們用手中的三角尺操作完成，並在小組內交流，用自己的語言清楚表達自己的想法．
學生完成的實況如下：
[生]用三角尺可以作已知角的平分線：如圖，在已知∠aob的兩邊上分別取點m，n，使om=on，再過點m作oa的垂線，過點n作ob的垂線，兩垂線交於點p，那麼射線op就是麼aob的平分線．
[師]同學們表現都很棒．你能說明這樣做的理由嗎?也就是說，你能證明op就是∠aob平分線嗎?
[生]可以．已知：如上圖，由作圖步驟可知on=om，mp上oa，np上ob，m、n分別為垂足．
求證：∠aop=∠bop．
證明：∵ mp⊥oa，np⊥ob，
∴∠omp= ∠ np=90°．
在rt△omp和rt△onp中，
∵op=op，om=on.
∴rt△omp≌rt△onp(hl定理)．
∠aop=∠zbop(全等三角形的對應角相等)．
第四環節：議一議
如圖，已知∠acb=∠bda=90°，要使△acb≌bda，還需要什麼條件?把它們分別寫出來．
這是乙個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學過的定理，觀察圖形，積極思考，並在獨立思考的基礎上，通過同學之間的交流，獲得各種不同的答案．
(教師一定要提供時間和空間，讓同學們認真思考，勇於向困難提出挑戰)
學生完成的實況如下：
[生]觀察圖形不難發現.在rt△acb和rt△bda中，除麼∠acb=∠bda=90°外，它們有一條公共邊，根據直角三角形全等的判定可知新增的條件可以是直角三角形的銳角，也可以是直角三角形中的直角邊．從新增角來說，可以新增∠cba=∠dab或∠cab=∠dba；從新增邊來說，可以是ac=bd，也可以是bc=ad．
[生]還可以將bc、ad的交點設為o，若oa=ob，則△acb≌△bda．
[師]第一位同學的想法思路清晰明了，第二位同學敢打破常規思路．獨闢蹊徑，並且很有見地．請同學們思考，第二位同學新增的條件可以嗎?若可以，請同學們推導證明；若不可以，說明理由．
[生]我認為可以，我是這樣推導出來的．
已知：如上圖，ad、bc交於點o，且ob=oa．∠acb=∠bda=90°,
求證：△acb≌△bda．
證明：在rt△aco和rt△bdo中
∵ao=bo，∠acb=∠bda=90°
∠aoc=∠△bod(對頂角相等)，
∴△aco≌△bdo(aas)．
∴ac=bd．又∵ab=ab，
∴△acb≌△bda(hl定理)．
[生]我還有一種方法，如果把剛才新增的條件「oa=ob」改寫成「oc=od」，也可以使△acb≌△bda．
[師]請同學們思考這樣做可以嗎?
[生]我認為可以．推導過程如下：
已知：如上圖，∠acb=∠bda=90°，oc=od．
求證：△acb≌△bda．
證明：在△aoc和△bod中
∵∠acb=∠bda=90°，oc=od，∠aoc=∠bod(對頂角相等)，
∴△aoc≌△bod(asa)．
∴ac=bd(全等三角形對應邊相等)
在△acb和△bda中，
∵ab=ab，ac=bd，∠acb=∠bda，
∴△acb≌bda(hl定理)．
[生]我又有一種想法，若新增∠cad=∠dbc」，可以得出△acb≌△bda嗎?
[生]我認為不可以，因為添「∠cad=∠dbc」，則在△aoc和△bod中，有三個內角對應相等，不能證明△aoc≌△bod，也就不能獲得△acb和△bda全等的條件．
[師]同學們分析得很透徹，由此我們得到了六種不同的答案．例如.(1)ac=bd；(2)bc=ad；(3)∠cba∠=∠dab；(4)∠cab=∠dba；(5)oa=ob；(6)oc=od，等．
下面我們再來看一例題．
[例題]如圖，在△abc≌△a'b'c'中，cd，c'd'分別分別是高，並且ac＝a'c'，cd=c'd'．∠acb=∠a'c'b'．
求證：△abc≌△a'b'c'．
分析：要證△abc≌△a'b'c'，由已知中找到條件：一組邊ac=a'c'，一組角∠acb=∠a'c'b'．如果尋求∠a=∠a'，就可用asa證明全等；也可以尋求麼∠b=∠b'，這樣就有aas；還可尋求bc=b'c'，那麼就可根據sas．……注意到題目中，通有cd、c'd'是三角形的高，cd=c'd'．觀察圖形，這裡有三對三角形應該是全等的，且題目中具備了hl定理的條件，可證的rt△adc≌rt△a'd'c'，因此證明∠a=∠a' 就可行．
證明：∵cd、c'd'分別是△abc△a'b'c'的高(已知)，
∴∠adc=∠a'd'c'=90°．
在rt△adc和rt△a'd'c'中，
ac=a'c'(已知)，
cd=c'd' (已知)，
∴rt△adc≌rt△a'd'c' (hl)．
∠a=∠a'，(全等三角形的對應角相等)．
在△abc和△a'b'c'中，
∠a=∠a' (已證)，
ac=a'c' (已知)，
∠acb=∠a'c'b' (已知)，
∴△abc≌△a'b'c' (asa)．
第五環節：課時小結
本節課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應相等的兩個三角形不一定全等．而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——hl定理，並用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方法，而且發展了同學們演繹推理的能力．同學們這一節課的表現，很值得繼續發揚廣大．
第一章 證明
三角形的性質與判定 證明方法 綜合法 反證法 綜合法 審題 找出已知 求證的各量之間的關係 分析解題思路 一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立的理由。書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來 反證法 在證明時，先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義 公理 已證定理或已知條件相矛盾的結...
第一章證明
1 你能證明它嗎 專題一三角形全等的性質及判定 1.如圖，點b c e在同一條直線上，abc與 cde都是等邊三角形，則下列結論不一定成立的是 a ace bcdb bgc afc c dcg ecfd adb cea 2.如圖，abc的高bd ce相交於點o 請你新增一對相等的線段或一對相等的角的...
第一章證明
八年級下冊第一章測試題 一 選擇題 1.到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形 的交點.a.三個內角平分線 b.三邊垂直平分線 c.三條中線 d.三條高 2 已知 abc的三邊長分別是6cm 8cm 10cm，則 abc的面積是 a.24cm2 b.30cm2c.40cm2d.48cm2 3 已知等...