第一章證明二水平測試A

2021-05-30 17:53:24 字數 4962 閱讀 4279

山東孟坤

一、精心選一選,慧眼識金(每小題3分,共30分)

1.如圖1,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃.那麼最省事的辦法是帶( )去配.

a. ① b. ② c. ③ d. ①和②

2.下列說法中,正確的是

a.兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等

b.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等

c.兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等

d.面積相等的兩個三角形全等

3.如圖2,ab⊥cd,△abd、△bce都是等腰三角形,如果cd=8cm,be=3cm,那麼ac長為( ).

a.4cmb.5cm c.8cm d. cm

4.如圖3,在等邊中,分別是上的點,且,ad與be相交於點p,則的度數是( ).

ab. cd.

5.如圖4,在中,ab=ac,,bd和ce分別是和的平分線,且相交於點p. 在圖4中,等腰三角形(不再新增線段和字母)的個數為( ).

a.9個 b.8個 c.7個d.6個

6.如圖5,表示三條相互交叉的公路,現在要建乙個加油站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的位址有( ).

a.1處 b.2處 c.3處 d.4處

7.如圖6,a、c、e三點在同一條直線上,△dac和△ebc都是

等邊三角形,ae、bd分別與cd、ce交於點m、n,有如下結

論:① △ace≌△dcb;② cm=**;③ ac=dn. 其中,正確結論的個數是( ).

a.3個 b.2個 c. 1個 d.0個

8.要測量河兩岸相對的兩點a、b的距離,先在ab的垂線bf上取兩點c,d,使cd=bc,再作出bf的垂線de,使a,c,e 在同一條直線上(如圖7),可以證明≌,得ed=ab. 因此,測得de的長就是ab的長,在這裡判定≌的條件是

a.asa b.sas c.sss d.hl

9.如圖8,將長方形abcd沿對角線bd翻摺,點c落在點e的

位置,be交ad於點f.

求證:重疊部分(即)是等腰三角形.

證明:∵四邊形abcd是長方形,∴ad∥bc

又∵與關於bd對稱,

∴. ∴是等腰三角形.

請思考:以上證明過程中,塗黑部分正確的應該依次是以下四項中的哪兩項?( ).

①;②;③;④

a.①③ bcd.③④

10.如圖9,已知線段a,h作等腰△abc,使ab=ac,且

bc=a,bc邊上的高ad=h. 張紅的作法是:(1)作線段

bc=a;(2)作線段bc的垂直平分線mn,mn與bc相

交於點d;(3)在直線mn上擷取線段h;(4)鏈結ab,

ac,則△abc為所求的等腰三角形.

上述作法的四個步驟中,有錯誤的一步你認為是( ).

a. (1)   b. (2)  c. (3)  d. (4)

二、細心填一填,一錘定音(每小題3分,共30分)

1.如圖10,已知,在△abc和△dcb中,ac=db,若不增加任何字母與輔助線,要使

△abc≌△dcb,則還需增加乙個條件是

2.如圖11,在中,,分別過點作經過點a的直線的垂線段bd,ce,若bd=3厘公尺,ce=4厘公尺,則de的長為_______.

3.如圖12,p,q是△abc的邊bc上的兩點,且bp=pq=qc=ap=aq,則∠abc等於_________度.

4.如圖13,在等腰中,ab=27,ab的垂直平分線交ab於點d,交ac於點e,若的周長為50,則底邊bc的長為

5.在中,ab=ac,ab的垂直平分線與ac所在的直線相交所得的銳角為,則

底角b的大小為________.

6.在《證明二》一章中,我們學習了很多定理,例如:①直角三角形兩條直角邊的平方和

等於斜邊的平方;②全等三角形的對應角相等;③等腰三角形的兩個底角相等;④線段

垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;⑤角平分線上的點到這個角兩邊的

距離相等.在上述定理中,存在逆定理的是填序號)

7.如圖14,有一張直角三角形紙片,兩直角邊ac=5cm,bc=10cm,將△abc摺疊,點b

與點a重合,摺痕為de,則cd的長為________.

8.如圖15,在中,ab=ac,,d是bc上任意一點,分別做de⊥ab於e,df⊥ac於f,如果bc=20cm,那麼de+df= _______cm.

9.如圖16,在rt△abc中,∠c=90°,∠b=15°,de是ab的中垂線,垂足為d,交bc

於點,若,則_______ .

10.如圖17,有一塊邊長為24m的長方形綠地,在綠地旁邊b處有健身

器材, 由於居住在a處的居民踐踏了綠地,小穎想在a處立乙個標

牌「少走_____步,踏之何忍?」但小穎不知在「_____」處應填什麼

數字,請你幫助她填上好嗎?(假設兩步為1公尺)?

三、耐心做一做,馬到成功(本大題共48分)

1.(7分)如圖18,在中,,cd是ab邊上的高,

. 求證:ab= 4bd.

2.(7分)如圖19,在中,,ac=bc,ad平分

交bc於點d,de⊥ab於點e,若ab=6cm. 你能否求出的

周長?若能,請求出;若不能,請說明理由.

3.(10分)如圖20,d、e分別為△abc的邊ab、ac上的點,

be與cd相交於o點. 現有四個條件:①ab=ac;②ob=oc;

③∠abe=∠acd;④be=cd.

(1)請你選出兩個條件作為題設,餘下的兩個作為結論,寫出乙個正確的命題:

命題的條件是和 ,命題的結論是和 (均填序號).

(2)證明你寫出的命題.

已知:求證:

證明:4.(8分)如圖21,在中,,ab=ac,的

平分線bd交ac於d,ce⊥bd的延長線於點e.

求證:.

5.(8分)如圖22,在中,.

(1)用圓規和直尺在ac上作點p,使點p到a、b的距離相等.

(保留作圖痕跡,不寫作法和證明);

(2)當滿足(1)的點p到ab、bc的距離相等時,求∠a的度數.

6.(8分)如圖23,,om平分,將直角三角板的頂

點p在射線om上移動,兩直角邊分別與oa、ob相交於點c、d,問

pc與pd相等嗎?試說明理由.

四、拓廣探索(本大題12分)

如圖24,在中,ab=ac,ab的垂直平分線交ab於點n,

交bc的延長線於點m,若.

(1)求的度數;

(2)如果將(1)中的度數改為,其餘條件不變,再求

的度數;

(3)你發現有什麼樣的規律性,試證明之;

(4)若將(1)中的改為鈍角,你對這個規律性的認識是否需要加以修改?

答案:一、精心選一選,慧眼識金

1.c;

2.b;

3.d.點撥:bc=be=3cm,ab=bd=5cm;

4.c.點撥:利用≌;

5.b;

6.d.點撥:三角形的內角平分線或外角平分線的交點處均滿足條件;

7.b.點撥:① ②正確;

8.a;

9.c;

10.c.點撥:在直線mn上擷取線段h,帶有隨意性,與作圖語言的準確性不相符.

二、細心填一填,一錘定音

1.答案不惟一.如;

2.7厘公尺. 點撥:利用≌;

3.;4.23.點撥:由,可得;

5.或.點撥;當為銳角三角形時,;當為鈍角三角形時,;

6.①、③、④、⑤.點撥:三個角對應相等的兩個三角形不一定是全等三角形,所以②不存在逆定理;

7.. 點撥:設,則易證得.在中,,解得.

8.10.點撥:利用含角的直角三角形的性質得,.

9.. 點撥:在中,,由ae=be= 4,則得ac=2;

10.16.點撥:ab=26公尺,ac+bc=34公尺,故少走8公尺,即16步.

三、耐心做一做,馬到成功

1.∵,,∴ab=2bc,.

又∵cd⊥ab,∴,∴bc=2bd. ∴ab= 2bc= 4bd.

2.根據題意能求出的周長.

∵,,又∵ad平分,∴de=dc.

在和中,de=dc,ad=ad,∴≌(hl).

∴ac=ae,又∵ac=bc,∴ae=bc.

∴的周長.

∵ab=6cm,∴的周長=6cm.

3.(1)①,③;②,④.

(2)已知:d、e分別為△abc的邊ab、ac上的點,be與cd相交於o點,且

ab=ac,∠abe=∠acd.

求證:ob=oc,be=cd.

證明:∵ab=ac,∠abe=∠acd,∠a=∠a,∴△abe≌△acd(asa).∴be=cd. 又∵,∴

∴是等腰三角形,∴ob=oc.

4.延長ce、ba相交於點f.

∵,∴.

在和中,∵,ab=ac,

∴≌(asa). ∴.

在和中,∵be=be,,

∴≌(asa).

∴. ∴.

5.(1)圖略. 點撥:作線段ab的垂直平分線.

(2)鏈結bp. ∵點p到ab、bc的距離相等,

∴bp是的平分線, ∴.

又∵點p**段ab的垂直平分線上,∴pa=pb,∴.

∴.6.過點p作pe⊥oa於點e,pf⊥ob於點f.

∵om平分,點p在om上,∴pe=pf. 又∵,∴.

∴,∴. ∴≌(asa),∴pc=pd.

四、拓廣探索

(1)∵ab=ac,∴. ∴.

∴.(2)解法同(1).同理可得,.

(3)規律:的度數等於頂角度數的一半.

證明:設.∵ab=ac,∴,∴.

∵,∴.

即的度數等於頂角度數的一半.

(4)將(1)中的改為鈍角,這個規律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交所成的銳角等於頂角的一半.

第一章證明 二 測試 2

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