定理一實數基本定理（戴德金實數連續性定理）實數系r按戴德金連續性準這是連續的，即對r的任意分劃a|b，都存在唯一的實數r，它大於或等於下類a的每一實數。小於或等於上類b中的每乙個實數。
定理二單調有界有極限單調上公升（下降）有上（下）界的數列必有極限存在。
定理三確界定理在實數系r內，非空的有上（下）界的數集必有上（下）確界存在。
定理四區間套定理設是乙個區間套，則必有唯一的實數r，使得r包含在所有的區間套裡，即 。
定理五 borel有限覆蓋定理實數閉區間的任乙個覆蓋e，必存在有限的子覆蓋。
定理六 bolzano-weierstrass緊緻性定理有界數列必有收斂子數列。
定理七 cauchy收斂原理在實數系中，數列有極限存在的充分必要條件是：任給 >0，存在n，當n>n，m>n時，有 。
定理一 — 三是對實數連續性的描述，定理四 — 定理六是對實數閉區間的緊緻性的描
述，定理七是對實數完備性的描述。上述七個定理都描述了實數的連續性（或稱完備性），
它們都是等價的。下面給出其等價性的證明：
定理一定理二：設數列單調上公升有上界。令b是全體上界組成的集合，即
b= ，而a=r\b,則a|b是實數的乙個分劃。事實上，由有上界知b不
空。又單調上公升，故 ，即a不空。由a=r\b知a、b不漏。又 ，
則 ，使 ，即a、b不亂。故a|b是實數的乙個分劃。根據實數基本定理，
存在唯一的使得對任意 ，任意 ，有 。下證 。事實上，
對 ，由於 ，知 ，使得 。又單調上公升。故當n>n時，
有 。注意到 ，便有 。故當n>n時有
，於是 。這就證明了 。若單調下降有下界，
則令 ，則就單調上公升有上界，從而有極限。設極限為r，則
。定理二證完。
定理二定理三：只需證明在實數系r內，非空的有上界的數集必有上確界存在。設數集
x非空，且有上界。則 ，使得對 ，有 。又 r是全序集， 對 ，
與有且只有乙個成立。故 ,有與有且只有乙個成
立。故r是x的上界與r不是x的上界有且只有乙個成立。 x有上界， 實數是x的
上界。若不存在實數不是x的上界，則由上知， 實數都是x的上界，這顯然與x非空矛
盾。故 ，使得不是x的上界， 是x的上界。則使得 。
用的中點二等分 ，如果是x的上界，則取
；如果不是x的上界，則取 。繼續用
二等分 ，如果是x的上界，則取 ；如果
不是x的上界，則取 。如此繼續下去，便得到兩串序列
。其中都不是x的上界且單調上公升有上界（例如 ）， 都是x的上界且
單調下降有下界（例如 ）。並且 （當時）。由單調上公升
有上界知有存在，使得 。下證 。①事實上 ， 對
， ，當時有 。又都不是x上界對每乙個 ，
，使得 。故對 ， ，使得 。②若
，使得 ，則由知 。故
，使得 。又都是x的上界，故對有 。而 ，
故 ，這是不可能的。故對 ，有 。綜上①、②即有 。即x
有上確界存在。
定理三定理四：由條件知集合非空，且有上界（例如 ）。故由確
界定理知a有上確界，記為 。則對 ，有 。同理可知集合
有下確界，記為 。則對 ，有 。又 ，
由上可知 。 兩邊取極限，令有 。又顯然 。否則
由於是a的上確界，則 ，使得 ；同理 ，使得 ，則有
。又由區間套的構造可知，對 ，記k=max（n,m），則有
。故有 ，矛盾。故必有 。故 ，記為r。則對 ，
有 。下證具有這一性質的點是唯一的。用反證法，如果還有另一 ，使得
。由於對一切n成立，故 ,令
，得 ，與矛盾。故這樣的r是唯一的，即存在唯一的實數r，使得r
包含在所有的區間裡，即 。
定理四定理五：用反證法。設e是區間的乙個覆蓋，但沒有e的有限子覆蓋。
記 ，二等分 ，則必有一區間沒有e的有限子覆蓋（否則把兩區間的e
的有限子覆蓋的元素合起來構成一新的集合e』,則e』是的e的有限子覆蓋，即有
e的有限子覆蓋與反證假設矛盾），記其為 。二等分 ，則必有一區間沒有e
的有限子覆蓋，記為 。如此繼續下去，得到一組實數的閉區間序列
，滿足(i) ；
(ii) 。故構成乙個區間套，且每個都沒有
e的有限子覆蓋。則由區間套定理有存在唯一的實數r，使得 。又
由覆蓋的定義有 ，使得 ，即 。又由上區間套定理的證明
可知 ，其中 。故 ，
使得 ， ，使得 。設 ，則
，即有覆蓋 。這與沒
有e的有限子覆蓋的構造矛盾，故必有e的有限子覆蓋。
定理五定理六：設數列有界，即實數 a,b，且a 反證法，如果無收斂子數列，則對 ，使得只有有限 個 。（如果不然，即 ，對 ，有中有無限 個 。選定 ，再選 ，使 。這是辦得到的，因 為包含數列的無限多項。再取 ，使 。如此繼續下 去，便得到的一子數列 。令 ，則有 。 又 ， 與反證假設矛盾）。又以這樣的 作為元素組成的集合顯然是的一覆蓋，記為e。則由borel有限覆蓋定理知有e 的有限子覆蓋。而e中的每個元素都只包含的有限項，有限個有限的數相加仍為有限 數，故只包含的有限項。這與矛盾，故必有收斂子數 列，即有界數列必有收斂子數列。 定理六定理七：必要性：設在實數系中，數列有極限存在，則 ， ， 使得只要 ，有 （記 ）。因此只要 ，就有 。必要性得證。 充分性：設在實數系中，數列滿足： ， ，當 時，有 ，即是基本列。先證是有界的。事實上，取 ，則 ，使得當時，有 。取定一 ，則 有 。取 ， 則有 。這就證明了是有界的。再證明有極限存在。由 bolzano-weierstrass緊緻性定理可知有子數列 ，使得存在，記為a。下證 。事實上， ，由題設知 ，當時，有 。 又 ， ，只要 ，就有 。取 ， 則只要 ，選取 ，就有 。這就證 明了 。即有極限存在。充分性得證。 綜上，定理七證完。 定理七定理一：對任意給定的實數r的分劃a|b， a、b非空， 可任取點 。又分劃滿足不亂， 。用的中點二等分 ， 如果 ，則取 ；如果 。則取 。（ 分劃滿足不漏， 對任意實數，或者屬於a，或者屬於b。故 或 。）繼續用二等分 ，如果 ，則取 ；如果 ，則取 。如此繼續下去， 便得到兩串序列 。其中單調上公升有上界（例如 ）， 單調下降有 下界（例如 ），並且 （當時）。下面用柯西收斂原理來證明 存在。事實上如果不然，則 ， ， ，有 。 不妨設 ，由單調上公升有 。 對上式都成立 （ ）， 取 ，並把所得的不等式相加得 。其中 k為不等式的個數。故 ，當時。而由n的取法可知對每乙個 k都有相應的n』與之對應，即有相應的與之對應。故對 ， ，使得 。即無界，與有界矛盾。故存在，記為r。下證對 ，有 。這等價於證明對 ，有 。事實上， ，由知 ，使 。故 。而對 ，由 知 。故 ，使 。從而 ，這就證明了 ，即證明了實 數基本定理。 綜上，這就證明了這七個定理是等價的。而從證明過程來看：定理二定理三的方法 可用於定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可運用於定理七定 理二，定理二定理四，定理四定理一。而這並不構成邏輯迴圈，因為我們已用十進小 數證明了實數基本定理。而這其實是用無限不迴圈小數方法來定義無理數。事實上我們還可 以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏爾斯特拉斯的單調有界序列法來定義無理數，這都 能構成反映實數本質的實數公理系統。 課時5 函式的連續性 一 複習目標 了解函式連續的意義，理解閉區間上連續函式有最大值最小值的性質.二 例題講解 例1 已知函式且有如下結論 在點處連續 在點處連續 在點處極限不存在 在點處極限不存在.其中正確的有 例2 指出下列函式的不連續點 1 2 解 1 由，得，所以函式的不連續點為.2 當時，... 作者 張歆秋栗會平張國強明文燕呂亞楠徐龍鑫郝兆才 考試週刊 2013年第09期 摘要 本文在前人已有工作的基礎上，分十二個方面，系統歸納 分類總結了連續函式一致連續性的判別方法，分類給出了函式一致連續的充分或充要條件，彌補了相關文獻資料關於函式一致連續性問題判別方法的一些不足，大大簡化並拓寬了函式一... 作者 唐衛 新課程研究 教師教育 2014年第05期 中圖分類號 g632.41 文獻標識碼 a 文章編號 1671 0568 2014 15 0048 01 一 課題要盡可能貼近學生的生活 綜合實踐活動的基本理念是堅持學生的自主選擇和主動 學生的興趣和需要是核心。教師要熟悉學生，要具有敏銳的觀察力...函式的連續性
函式一致連續性的判別方法
如何保持綜合實踐活動的完整性和連續性