客觀世界的許多現象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發展變化的事物在量的方面的反映就是函式的連續性. 本節將要引入的連續函式就是刻畫變數連續變化的數學模型.
16、17世紀微積分的醞釀和產生，直接肇始於對物體的連續運動的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續變化的量. 但直到19世紀以前，數學家們對連續變數的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應的函式稱為連續函式.
19世紀中葉，在柯西等數學家建立起嚴格的極限理論之後，才對連續函式作出了嚴格的數學表述.
連續函式不僅是微積分的研究物件，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函式具有連續性.
本節和下一節將以極限為基礎，介紹連續函式的概念、連續函式的運算及連續函式的一些性質.
分布圖示
★ 函式的連續性例1例2
★ 左右連續例3例4
★ 例5
★ 連續函式與連續區間 ★ 例6
★ 函式的間斷點例7例8
★ 例9例10例11
★ 例12例13
★ 內容小結課堂練習
★ 習題 1- 9
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內容要點
一、函式的連續性：函式的增量連續性的三種定義形式
二、左右連續
定理1 函式在處連續的充要條件是函式在處既左連續又右連續.
三、連續函式與連續區間
四、函式的間斷點：第一類間斷點跳躍間斷點可去間斷點；第二類間斷點無窮間斷點振盪間斷點；
例題選講
函式的連續性
例1 (e01) 試證函式在處連續.
證又由定義2知，函式在處連續.
例2 設是定義於[a, b]上的單調增加函式,如果存在, 試證明函式在點處連續.
證設由於單調增加，則
當時，當時，由此可見，即因此在連續.
左右連續
例3 討論函式在和處的連續性.
解如圖所示（圖示見系統），
因為，所以但是
故在處不連續.
在處：因為，所以不存在，在處不連續.
例4 (e02) 已知函式
在點處連續，求的值.
解因為點處連續，則即
例 5設為使在處連續，與應如何取值？
解因為為使在處連續，只要
而要使存在，須即得代入
即當時，在連續.
連續函式與連續區間
例6(e03) 證明函式在區間內連續.
證 當時，即函式對任意都是連續的.
函式間斷點
例7 (e04) 討論在處的連續性.（圖示見系統）
解因為右連續但不左連續，故函式在點處不連續.
例8 討論函式在處的連續性.（幾何演示見系統）
解為函式的跳躍間斷點.
例9(e05) 討論函式在處的連續性.（幾何演示見系統）
解為函式的可去間斷點.
例10(1) (e06) 討論函式
在處的連續性.
解為函式的第二類間斷點(無窮間斷點).
例10(2) (e07) 討論函式在處的連續性.
解在處沒有定義，且不存在. 為第二類間斷點.
例11 取何值時， 在處連續.
解要使必須故當且僅當時，函式在處連續.
注：乙個函式的間斷點也可能有無窮多個. 例如，狄利克雷函式
在定義域內每一點處都間斷，且都是第二類間斷點.
例12 設求的間斷點，並判別出它們的型別.
解的定義域為且在中都是初等函式，因而的間斷點只可能在處.
由於因此是的第二類間斷點(無窮間斷點)；由於且在處無定義，因此是的可去間斷點；又
因此是的連續點.
例13(e08) 研究在處的連續性.
解當且僅當時，在處連續.
因為而所以，當且即時，在處連續，當或時，
在處間斷.
課堂練習
1. 若在連續, 則在是否連續 ?又若在連續,在是否連續?
2. 試確定a, b的值, 使
(1) 有無窮間斷點; (2) 有可去間斷點.
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