第七章實數的完備性
§1 關於實數集完備性的基本定理
(一) 教學目的：
理解區間套定理,聚點定理,緻密性定理,有限覆蓋定理的條件和結論.理解這些定理的含意及關係,了解各定理的證明思路．
(二) 教學內容：區間套定理、柯西判別準則的證明；聚點定理；有限覆蓋定理．
(三) 基本要求：
(1) 掌握和運用區間套定理、緻密性定理．
(2)掌握聚點定理和有限覆蓋定理的證明與運用．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是區間套定理和緻密性定理．教會學生在什麼樣情況下應用區間套定理和
緻密性定理以及如何應用區間套定理和緻密性定理．
(2) 本節的難點是掌握聚點定理和有限覆蓋定理．教會較好學生如何應用聚點定理和有限覆蓋定理．
一區間套定理與柯西收斂準則
定義1 區間套: 設是一閉區間序列. 若滿足條件
ⅰ） 對, 有, 即, 亦即
後乙個閉區間包含在前乙個閉區間中;
ⅱ） . 即當時區間長度趨於零.
則稱該閉區間序列為閉區間套, 簡稱為區間套 .
區間套還可表達為:
.我們要提請大家注意的是, 這裡涉及兩個數列和, 其中遞增,遞減.
例如和都是區間套. 但、
和都不是.
區間套定理
th7.1(區間套定理) 設是一閉區間套. 則在實數系中存在唯一的點, 使對有. 簡言之, 區間套必有唯一公共點.
二聚點定理與有限覆蓋定理
定義設是無窮點集. 若在點(未必屬於)的任何鄰域內有的無窮多個點, 則稱點為的乙個聚點.
數集=有唯一聚點, 但;
開區間的全體聚點之集是閉區間;
設是中全體有理數所成之集, 易見的聚點集是閉區間.
th 7.2 ( weierstrass ) 任一有界數列必有收斂子列.
2. 聚點原理 : weierstrass 聚點原理.
th 6 每乙個有界無窮點集必有聚點.
三實數完備性基本訂立的等價性
證明若干個命題等價的一般方法.
本節證明七個實數基本定理等價性的路線 : 證明按以下三條路線進行:
ⅰ: 確界原理單調有界原理區間套定理cauchy收斂準則
確界原理 ;
ⅱ: 區間套定理緻密性定理cauchy收斂準則 ;
ⅲ: 區間套定理heine–borel 有限覆蓋定理區間套定理 .
一. 「ⅰ」 的證明: (「確界原理單調有界原理」已證明過 ).
1. 用「確界原理」證明「單調有界原理」:
th 2 單調有界數列必收斂 .
2. 用「單調有界原理」證明「區間套定理」:
th 3 設是一閉區間套. 則存在唯一的點,使對有.
推論1 若是區間套確定的公共點, 則對,
當時, 總有.
推論2 若是區間套確定的公共點, 則有
↗,↘,.
3. 用「區間套定理」證明「cauchy收斂準則」:
th 4 數列收斂是cauchy列.
引理 cauchy列是有界列. ( 證 )
th 4 的證明: ( 只證充分性 ) 教科書p217—218上的證明留作閱讀 . 現採用三等分的方法證明, 該證法比較直觀.
4． 用「cauchy收斂準則」 證明「確界原理」 ：
th 1 非空有上界數集必有上確界 ；非空有下界數集必有下確界 .
證 （只證「非空有上界數集必有上確界」）設為非空有上界數集 . 當為有限集時 , 顯然有上確界 .下設為無限集, 取不是的上界, 為的上界.
對分區間, 取, 使不是的上界, 為的上界. 依此得閉區間列. 驗證為cauchy列, 由cauchy收斂準則,收斂; 同理收斂.
易見↘. 設↘.有↗.
下證.用反證法驗證的上界性和最小性.
二. 「ⅱ」 的證明:
1. 用「區間套定理」證明「緻密性定理」:
th 5 ( weierstrass ) 任一有界數列必有收斂子列.
證 （ 突出子列抽取技巧 ）
th 6 每乙個有界無窮點集必有聚點.
2．用「緻密性定理」 證明「cauchy收斂準則」 ：
th 4 數列收斂是cauchy列.
證 （ 只證充分性 ）證明思路 ：cauchy列有界有收斂子列驗證收斂子列的極限即為的極限.
「ⅲ」 的證明:
1. 用「區間套定理」證明「heine–borel 有限覆蓋定理」:
2. 用「heine–borel 有限覆蓋定理」 證明「區間套定理」:
§2 閉區間上連續函式性質的證明 ( 4 時 )
(一) 教學目的：證明閉區間上的連續函式性質．
(二) 教學內容：閉區間上的連續函式有界性的證明；閉區間上的連續函式的最大(小)值定理的證明；閉區間上的連續函式介值定理的證明；閉區間上的連續函式一致連續性的證明．
(三)基本要求：
1）理解閉區間上連續函式性質的證明思路和證明方法.掌握用有限覆蓋定理或用
緻密性定理證明閉區間上連續函式的有界性；用確界原理證明閉區間上的連續函式的最大(小)值定理；用區間套定理證明閉區間上的連續函式介值定理．
2)掌握用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函式的有界性和一致連續性．
(四) 教學建議：
(1) 本節的重點是證明閉區間上的連續函式的性質．
(2) ，對較好學生可布置這方面的習題．
一. 有界性:
命題1 , 在上.
證法一 ( 用區間套定理 ). 反證法.
證法二 ( 用列緊性 ). 反證法.
證法三 ( 用有限覆蓋定理 ).
二. 最值性:
命題2 , 在上取得最大值和最小值.
( 只證取得最大值 )
證 ( 用確界原理 ) 參閱[1]p226[ 證法二 ] 後半段.
三. 介值性: 證明與其等價的「零點定理 」.
命題3 ( 零點定理 )
證法一 ( 用區間套定理 ) .
證法二 ( 用確界原理 ). 不妨設.
令, 則非空有界, 有上確界. 設有. 現證, ( 為此證明且 ). 取》 且
. 由在點連續和, ,
. 於是. 由在點連續和,
. 因此只能有.
證法三 ( 用有限覆蓋定理 ).
四. 一致連續性:
命題4 ( cantor定理 )
證法一 ( 用區間套定理 ) . 參閱[1]p229—230 [ 證法一 ]
證法二 ( 用列緊性參閱[1]p229—230 [ 證法二 ]
習題課 （ 4 時 ）
一． 實數基本定理互證舉例：
例1 用「區間套定理」證明「單調有界原理」.
證設數列遞增有上界. 取閉區間, 使不是的上界,是的上界. 易見在閉區間內含有數列的無窮多項, 而在外僅含有的有限項.
對分, 取使有的性質.…….於是得區間套,有公共點.
易見在點的任何鄰域內有數列的無窮多項而在其外僅含有的有限項, .
例2 用「確界原理」證明「區間套定理」.
證為區間套. 先證每個為數列的下界, 而每個為數列的上界. 由確界原理 , 數列有上確界, 數列有下確界 . 設易見有
和. 由，.
例3 用「有限覆蓋定理」證明「聚點原理」.
證 ( 用反證法 ) 設為有界無限點集, . 反設的每一點
都不是的聚點, 則對, 存在開區間, 使在內僅
有的有限個點. …… .
例4 用「確界原理」證明「聚點原理」.
證設為有界無限點集. 構造數集中大於的點有無窮多個.
易見數集非空有上界, 由確界原理,有上確界. 設. 則對,由不是的上界, 中大於的點有無窮多個; 由是的上界, 中大於的點僅有有限個.
於是, 在內有的無窮多個點,即是的乙個聚點 .
一． 確界存在定理：回顧確界概念．
th 1 非空有上界數集必有上確界 ；非空有下界數集必有下確界 .
二. 單調有界原理: 回顧單調和有界概念 .
th 2 單調有界數列必收斂 .
二. 實數基本定理應用舉例：
例5 設是閉區間上的遞增函式, 但不必連續 . 如果,
, 則, 使. ( 山東大學研究生入學試題 )
證法一 ( 用確界技術 . 參閱[3] p76例10 證法1 )
設集合. 則, 不空 ; ,
有界 . 由確界原理 ,有上確界. 設, 則.
下證 .
ⅰ） 若, 有; 又, 得. 由
遞增和, 有, 可見. 由,
. 於是 , 只能有.
ⅱ） 若, 則存在內的數列, 使↗,; 也存在數列
, ↘,. 由遞增,以及, 就有式
對任何成立 . 令, 得
於是有.
證法二 ( 用區間套技術, 參閱[3] p77例10 證法2 ) 當或
時,或就是方程在上的實根 . 以下總設. 對分區間, 設分點為.
倘有,就是方程在上的實根.(為行文簡練計, 以下總設不會出現這種情況 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一級區間.
依此構造區間套, 對,有. 由區間套定理, , 使對任何,有.
現證.事實上, 注意到時↗和↘以及遞增,就有
.令, 得於是有.
例6 設在閉區間上函式連續, 遞增 , 且有,
. 試證明: 方程在區間內有實根 .
證構造區間套,使.由區間套定理,
, 使對, 有. 現證. 事實上, 由在上的遞增性和的構造以及↗和↘,, 有
.注意到在點連續，由heine歸併原則, 有
, .為方程在區間內的實根.
例7 試證明: 區間上的全體實數是不可列的 .
證 ( 用區間套技術, 具體用反證法 ) 反設區間上的全體實數是可列的,即可排成一列:
把區間三等分，所得三個區間中至少有乙個區間不含，記該區間為一級區間. 把區間三等分，所得三個區間中至少有乙個區間不含，記該區間為二級區間. …… .
依此得區間套, 其中區間不含. 由區間套定理, , 使對, 有. 當然有.
但對有而, . 矛盾 .
實數完備性的等價命題及證明
一 問題提出 確界存在定理 定理1.1 揭示了實數的連續性和實數的完備性.與之等價的還有五大命題，這就是以下的定理1.2至定理1.6 定理1.2 單調有界定理 任何單調有界數列必定收斂 定理1.3 區間套定理 設為一區間套 則存在唯一一點 定理1.4 有限覆蓋定理 設是閉區間的乙個無限開覆蓋，即中每...
實數的連續性公理證明確界存在定理
定理一實數基本定理 戴德金實數連續性定理 實數系r按戴德金連續性準這是連續的，即對r的任意分劃a b，都存在唯一的實數r，它大於或等於下類a的每一實數。小於或等於上類b中的每乙個實數。定理二單調有界有極限單調上公升 下降 有上 下 界的數列必有極限存在。定理三確界定理在實數系r內，非空的有上 下 界...
1 1 3集合的基本運算
一 內容與解析 一 內容 集合的基本運算 二 解析 集合的基本運算這一節共分為兩小節，即交集與並集 全集與補集 主要通過例項分析，文恩圖與數軸的演示揭示了集合與集合間的關係，加深對集合概念的理解.這兩小節是集合知識的重點內容，也是高考的常考的內容，從近幾年來看，高考對集合的考查是穩中求新 穩中求變 ...