1 1 3集合的基本運算

一、內容與解析

（一）內容：集合的基本運算

（二）解析：集合的基本運算這一節共分為兩小節，即交集與並集、全集與補集；主要通過例項分析，文恩圖與數軸的演示揭示了集合與集合間的關係，加深對集合概念的理解.這兩小節是集合知識的重點內容，也是高考的常考的內容，從近幾年來看，高考對集合的考查是穩中求新、穩中求變、常考常新，題目難度一般不大，但綜合性強，題型多以選擇題和填空題為主.

常滲透到解答題中與函式、方程、不等式等結合考查；另外，新定義集合運算是高考命題的乙個新動向，應予以重視.

二、教學目標及解析

（一）教學目標

（1）理解交集與並集的概念，掌握交集與並集的區別與聯絡，會求兩個已知集合的交集和並集，並能正確應用它們解決一些簡單問題；了解全集、補集的意義，正確理解補集的概念，正確理解符號「」的涵義，並正確應用它們解決具體問題。

（2）解析：集合運算的文字語言、數學語言、圖形語言的轉化是學好集合運算的關鍵。

三、問題診斷分析

在本節課的教學中，學生接受集合的運算會有一定的困難，關鍵在於講清集合運算的三種語言。

四、教學支援條件分析

在本節課一次遞推的教學中，準備使用powerpoint 2003。因為使用powerpoint 2003，有利於提供準確、最核心的文字資訊，有利於幫助學生順利抓住老師上課思路，節省老師板書時間，讓學生盡快地進入對問題的分析當中。

五、教學過程

1.教學交集、並集概念及性質：

① **：設，，試用venn圖表示集合a、b後，指出它們的公共部分（交）、合併部分（並）.

② 討論：如何用文字語言、符號語言分別表示兩個集合的交、並？

③ 定義交集：一般地，由所有屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合，叫作a、b的交集（intersection set），記作a∩b，讀「a交b」，即：a∩b＝。

④ 討論：a∩b與a、b、b∩a的關係？ → a∩a＝ a∩φ＝

⑤ 圖示五種交集的情況：…

⑥ 練習（口答）：

a＝，b＝，則a∩b＝；

a＝，b＝，則a∩b＝。

⑦定義並集：由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a與b的並集（union set）。記作：a∪b，讀作：a並b。用描述法表示是：…

⑧分析：與交集比較，注意「所有」與「或」條件；「x∈a或x∈b」的三種情況。

⑨討論：a∪b與集合a、b的關係？→ a∪a＝ a∪ф＝ a∪b與b∪a

⑩練習（口答）： a＝，b＝，則a∪b＝ ;

設a＝，b＝，則a∪b＝ ;

a＝，b＝，則a∪b＝，a∩b＝。

2.教學全集、補集概念及性質：

① 預備題：u=、a=、b=，則u、a、b有何關係？

②結論：集合b是集合u中除去集合a之後餘下來的集合。 → 畫圖分析

③定義全集（universe set）：含有我們所研究問題中所涉及的所有元素構成的集合，記作u，是相對於所研究問題而言的乙個相對概念。

④定義補集（complementary set）：已知集合u, 集合au，由u中所有不屬於a的元素組成的集合，叫作a相對於u的補集，記作：，讀作：

「a在u中補集」，即。補集的venn圖表示如右：

（說明：補集的概念必須要有全集的限制）

練：u=，a=，b=φ，則圖形分析

⑤ 討論：a.在解不等式時，把什麼作為全集？在研究圖形集合時，把什麼作為全集？

b. q的補集如何表示？意為什麼？

⑥ 練習（口答）：

設u＝，a＝，則＝；

設u＝，a＝，則＝。

六、型別題**

題型一元素已知的集合交集與並集的運算

例1 已知集合，，求，

【思維導圖】

【解答關鍵】解答本題應首先明確、的含義，元素為某一範圍內整數，用列舉法得出，然後即可求解並集、交集.

【規範解答】由題意知，，∴

【知識整合】理解集合的含義是正確解題的前提，在集合運算前，首先要明確集合的性質，然後根據相關運算的定**題.

【思想方法】此類問題，當集合中元素個數較少時，可借助venn圖；當集合中元素無限時，可以借助數軸，利用數軸分析求解.

【活學活用】1.集合，.求，.

1.解析：由題知，因為，故

如圖所示：

所以；.

題型二元素未知的集合的交集與並集間的運算

例2 若集合，，，求

【思維導圖】

【解答關鍵】注意到，由並集的性質可得所以，故.又因為兩集合中有共同元素「」，所以，或.

【規範解答】因為，，，所以，，

則，或.

(1)當時，得.

①若，則，，符合題意；

②若，則，，符合題意；

(2) 當時，，或.

①若，則，，符合題意；

②若，則，，不符合集合元素的互異性，捨去

故或.【知識整合】，這是集合的並集運算與子集之間的轉化關係

【技巧感悟】在由已知集合間的關係求引數時，首先要確定出集合間的包含關係，同時要密切關注所求引數是否符合集合元素的互異性.

【思想方法】在本例解題過程中運用了分類討論思想，這是重要的思想方法之一，要掌握為什麼要分類以及分類的依據是什麼，做到不重不漏.

【活學活用】2.已知，，且，.求、、的值.

2. 分析：解答本題應抓住-2是集合a和集合b的公共元素，再結合根與係數的關係求解.

解析：因為，所以，，

將代入，得，故.

因為，，故

則，得，所以，，.

點評：解決這類方程解集間關係問題時，一是要注意根的定義及韋達定理的運用；二是要注意集合運算及集合間的關係；三是要注意集合中元素的互異性.

題型三補集的概念與運算

例3 已知全集，，且，求實數，的值.

【思維導圖】

【解答關鍵】由題目可知：全集中有元素，中有元素；，則且；但，故.

【規範解答】由題意，可得方程組，化簡可得：,

解得或，故或，經檢驗知為所求.

【知識整合】補集的概念是建立在全集的基礎上的，所以要先判斷全集是由哪些元素組成的，並求出集合中元素，在全集中除去集合中的元素，則剩下的元素所組成的集合即為集合的補集.

【技巧感悟】解答有關集合與元素問題時要注意驗證結果，一方面看集合中元素的基本特徵，特別是互異性；另一方面看所求結果是否與題設相矛盾.

【思想方法】此類問題解決的前提是明確集合關係，關鍵是將條件轉化為元素關係，通過列方程求解.數學中的轉化方式較多，要注意及時總結.

【活學活用】3.設全集，，a為u的子集，求.

1.解析：由條件知，則，又，則或，

若，則，與互異性矛盾，捨去；由得，

解得或(捨去)，此時，，故.

題型四集合間的綜合運算

例4 已知集合，求，，

，．【思維導圖】

【解答關鍵】本題首先利用數軸結合交、並、補求得、、、，然後利用補集的運算，在r範圍內求出相應的集合.

【規範解答】由題意結合數軸可知：

，同理借助於數軸得到：，

得，【技巧感悟】解決與不等式有關的集合問題時，畫數軸可以使問題變得形象直觀，在運算時要注意求解時端點的值是否取到.

【活學活用】4. 已知集合，.

(1)若，求實數的取值範圍；(2)若，求實數的取值範圍.

2.解析：由題意，.

(1)由得,

，得，即.

(2)由或，則若使

，需或，得或.

(二）小結

七、目標檢測（一）

一、選擇題

1．已知集合，則下列關係正確的是（）．

abc． d．

1．a 由，得：，．而，∴，

∴，由子集的意義，∴．

2.設集合，則滿足的集合的個數是( )

a.1b.3c.4d.8

2. c 解析：，，則集合b中必含有元素3，即此題可轉化為求集合的子集個數問題，所以滿足題目條件的集合b共有個.

3．（09福建廈門月考）設集合，，則=（）

a． bc． d．

3. a 解析：由題知，得或，所以或.故.

4. (2023年廣東高考)第二十九屆夏季奧林匹克運動會將於2023年8月8日在北京舉行，若集合a=，集合b=.集合c=，則下列關係正確的是（）

4. d 解析：參加北京奧運會的男運動員和女運動員構成了參加北京奧運會比賽的所有運動員，故.

5.集合則滿足上述條件的集合b的個數是（）

a．1 b．2 c．4 d．8

5. c 解析：由知又所以集合b中至少含有乙個元素1，至多含有3個元素1，2，3，故集合b可以為.

6.若集合滿足且，則實數等於( )

a.2 b.5 c.-2 d.-2或5

6. c 解析：由已知：則，即或.當時，，與題意矛盾；當時，，符合題意.由上述分析知.

點評：集合是由元素構成的，要確定乙個集合，首先要明確集合中元素的範圍及其滿足的性質，再把集合中的元素一一找出來.

二、填空題

7. （2009浙江金華一中月考）若集合，，且，則

7.或解析：當時，滿足，即；當時，而，則或或；∴或.

8.某班有學生人，其中體育愛好者人，**愛好者人，還有人既不愛好體育也不愛好**，則該班既愛好體育又愛好**的人數為人.

8. 解析：全班分類人：設既愛好體育又愛好**的人數為人；僅愛好體育

的人數為人；僅愛好**的人數為人；既不愛好體育又不愛好**的人數為人，，.

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課題 1 1 3集合的基本運算 2 補集及小結

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