1.1《集合的概念與運算》錯誤解題分析
一、知識導學
1、集合：一般地，一定範圍內某些確定的、不同的物件的全體構成乙個集合。
2、元素：集合中的每乙個物件稱為該集合的元素，簡稱元。
3、子集：如果集合a的任意乙個元素都是集合b的元素（若則），則稱
集合a為集合b的子集，記為ab或ba；如果ab，並且ab，這時集合a稱為集合b的真子集，記為ab或ba。
4、集合的相等：如果集合a、b同時滿足ab、ba，則a=b。
5、補集：設as，由s中不屬於a的所有元素組成的集合稱為s的子集a的補集，記為。
6、全集：如果集合s包含所要研究的各個集合，這時s可以看做乙個全集，全集通常
記作u。
7、交集：一般地，由所有屬於集合a且屬於b的元素構成的集合，稱為a與b的交集，
記作ab。
8、並集：一般地，由所有屬於集合a或者屬於b的元素構成的集合，稱為a與b的並
集，記作ab。
9、空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作。
10、有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集。
11、無限集：含有無限個元素的集合稱為無限集。
12、集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（venn圖）。
13、常用數集的記法：自然數集記作n，正整數集記作n+或n，整數集記作z，有理數集記作q，實數集記作r。
二、疑難知識導析
1、符號，，，，=，表示集合與集合之間的關係，其中「」包括「」和「=」兩種情況，同樣「」包括「」和「=」兩種情況。符號，表示元素與集合之間的關係。要注意兩類不同符號的區別。
2、在判斷給定物件能否構成集合時，特別要注意它的「確定性」，在表示乙個集合時，要特別注意它的「互異性」、「無序性」。
3、在集合運算中必須注意組成集合的元素應具備的性質。
4、對由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什麼，是什麼範圍。用集合表示不等式（組）的解集時，要注意分辨是交集還是並集，結合數軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷。空集是任何集合的子集，但因為不好用文氏圖形表示，容易被忽視，如在關係式中，b=易漏掉的情況。
5、若集合中的元素是用座標形式表示的，要注意滿足條件的點構成的圖形是什麼，用數形結合法解之。
6、若集合中含有引數，須對引數進行分類討論，討論時既不重複又不遺漏。
7、在集合運算過程中要借助數軸、直角座標平面、venn圖等將有關集合直觀地表示出來。
8、要注意集合與方程、函式、不等式、三角、幾何等知識的密切聯絡與綜合使用。
9、含有n個元素的集合的所有子集個數為：，所有真子集個數為： -1
三、經典例題導講
[例1] 已知集合m=,n=，則m∩n=（ ）
a、（0，1），（1，2） b、
c、【錯解】求m∩n及解方程組得或 ∴選b
【錯因】在集合概念的理解上，僅注意了構成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什麼。事實上m、n的元素是數而不是實數對(x,y)，因此m、n是數集而不是點集,m、n分別表示函式y=x2＋1(x∈r)，y=x＋1(x∈r)的值域，求m∩n即求兩函式值域的交集。
【正解】m==， n==。
∴m∩n=∩=、、，這三個集合是不同的。
例2] 已知a=,b=且a∪b=a，求實數a組成的集合c。
【錯解】由x2－3x＋2=0得x=1或2。
當x=1時，a=2， 當x=2時，a=1。
【錯因】上述解答只注意了b為非空集合，實際上，b=時，仍滿足a∪b=a。
當a=0時，b=，符合題設，應補上，故正確答案為c=。
【正解】∵a∪b=a ∴ba 又a==
∴b=或 ∴c=
[例3]已知ma,nb, 且集合a=，b=，又c=，則有
a。m+na b。 m+nb c。m+nc d。 m+n不屬於a，b，c中任意乙個
【錯解】∵ma，∴m=2a,a,同理n=2a+1,az, ∴m+n=4a+1,故選c
錯因是上述解法縮小了m+n的取值範圍。
【正解】∵ma, ∴設m=2a1,a1z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 z , ∴m+nb, 故選b。
[例4］ 已知集合a=，集合b=。若ba，求實數p的取值範圍。
【錯解】由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5。
欲使ba，只須
∴ p的取值範圍是－3≤p≤3。
【錯因】上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結論，即b=時，符合題設。
【正解】①當b≠時，即p＋1≤2p－1p≥2。
由ba得：－2≤p＋1且2p－1≤5。
由－3≤p≤3。
∴ 2≤p≤3
②當b=時，即p＋1>2p－1p＜2。由①、②得：p≤3。
【點評】從以上解答應看到：解決有關a∩b=、a∪b=，ab等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題。
[例5] 已知集合a=，b=。若a=b，求c的值。
分析：要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的數學思想，此題應根據相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關係式。
解：分兩種情況進行討論。
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0時，集合b中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0。
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時，b中的三元素又相同，此時無解。
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－。
【點評】決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題後進行檢驗。
[例6] 設a是實數集，滿足若a∈a，則a，且1a。
⑴若2∈a，則a中至少還有幾個元素？求出這幾個元素。
⑵a能否為單元素集合？請說明理由。
⑶若a∈a，證明：1－∈a。
⑷求證：集合a中至少含有三個不同的元素。
解：⑴2∈a －1∈a ∈a 2∈a
∴ a中至少還有兩個元素：－1和。
⑵如果a為單元素集合，則a＝，即＝0，該方程無實數解，故在實數範圍內，a不可能是單元素集。
⑶a∈a ∈a ∈aa，即1－∈a。
⑷由⑶知a∈a時，∈a， 1－∈a 。現在證明a,1－,三數互不相等。①若a=,即a2-a+1=0 ，方程無解，∴a≠。
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程無解∴a≠1－。
③若1－=，即a2-a+1=0，方程無解∴1－≠。
綜上所述，集合a中至少有三個不同的元素。
【點評】⑷的證明中要說明三個數互不相等，否則證明欠嚴謹。
[例7] 設集合a=，集合b=，試證：ab。
證明：任設∈a，
則==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈n+),
∵ n∈n*，∴ n＋2∈n*
∴ a∈b故 ①
顯然，1，而由b==知1∈b，於是a≠b ②
由①、② 得ab。
【點評】（1）判定集合間的關係，其基本方法是歸結為判定元素與集合之間關係。（2）判定兩集合相等，主要是根據集合相等的定義。
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