1. 集合的包含關係：
（1）集合的任何乙個元素都是集合b的元素，則稱是的子集（或包含a），記作ab（或）；
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣．若且，則稱等於b，記作a=b；若ab且，則稱是b的真子集，記作；
（2）簡單性質：1）；2）；3）若，，則；4）若集合是個元素的集合，則集合有個子集（其中個真子集）；
2. 全集與補集：
（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；
（2）若是乙個集合，，則，稱中子集的補集；
（3）簡單性質：1）；2），．
2．集合的包含關係：
（1）集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，則稱a是b的子集（或b包含a），記作ab（或）；
集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣．若ab且ba，則稱a等於b，記作a=b；若ab且a≠b，則稱a是b的真子集，記作a b；
（2）簡單性質：1）aa；2）a；3）若ab，bc，則ac；4）若集合a是n個元素的集合，則集合a有2n個子集（其中2n－1個真子集）；
3．全集與補集：
（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；
（2）若s是乙個集合，as，則， =稱s中子集a的補集；
（3）簡單性質：1）()=a；2）s=， =s．
《教師備案》
（1）強調說明，加深印象：
①表示元素和集合之間的關係：屬於「」和不屬於「」
②表示集合與集合之間的關係：
包含關係：如果對於任意，則集合是集合的子集，記為或；注意提示：，
真子集關係：對於兩個集合與，若且，則集合是集合的真子集，
記作（或）
相等關係：對於兩個集合與，如果，且，那麼集合與相等，記作
《注意提示》如果「」，那麼有或，兩種情況二者必居其一；
而是不允許，所以即使，不一定成立；
反之，可以說；也可說
不包含關係：如果集合中存在著不屬於集合的元素，那麼集合不包含於，或不包含．分別記作，或
（2），，，之間的區別與聯絡
①與是不同的，只是乙個數字，而則表示集合，這個集合中含有乙個元素，它們的關係是
②與是不同的，中沒有任何元素，則表示含有乙個元素的集合，它們的關係是兩個集合之間的關係（）
③與是不同的，中沒有任何元素，則表示含有乙個元素的集合，它們的關係是或或
④顯然，，
（3）集合中的計數問題
當研究有限集合問題時，常有一些計數問題． 在計數時常用下列結論：設集合a中元素個數為，則①子集的個數為，②真子集的個數為，③非空真子集的個數為
《備註》集合時高中數學的一種語言，它的零碎知識點較多，高中單獨考察時通常難度不大，但有時會與其其它知識結合考察，需要理解集合的語言達到理解題意的目的．
子集與真子集
【例1】 用適當的符號填空
（1）___
（2）___
（3）___
（4）___
【例2】 若集合，下列關係式中成立的為（ ）
a． b． c． d．
【例3】 （2023年東城區期末理1）若集合，，則（ ）
a． b． cd．
【例4】 （2010宣武一模理1）設集合，，則下列關係中正確的是（ ）
a． b． c． d．
【例5】 下列說法中，正確的是（ ）
a．任何乙個集合必有兩個子集；
b．集沒有子集；
c．任何集合必有乙個真子集；
d．是任何集合的子集；
【例6】 （2010西城一模文1）設集合，，下列結論正確的是（ ）
a． b． c． d．
【例7】 （2010天津卷理9）設集合，．若，則實數，必滿足（ ）
ab．cd．【例8】 設集合，則下列圖形能表示a與b關係的是（ ）．
【鞏固】設集合，則（ ）
【例9】 已知集合，集合，若，則的值為（ ）
a ． b ． c ．或 d．或
【例10】 已知集合，，若，求的取值範圍．
【例11】 若集合，且，求實數的值．
【例12】 設集合，，若，求實數的值．
【例13】 若集合，，且．求實數的取值範圍．
【答案】
子集的列舉與個數
【例14】 集合的真子集共有（ ）
a、5個 b、6個 c、7個 d、8個
【例15】 （2008四川延卷）集合，的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
a．2個b．4個c．6個d．8個
【例16】 已知集合
（1）若中只有乙個元素，求的值，並求出這個元素；
（2）若中至多只有乙個元素，求的取值範圍．
【例17】 求滿足條件的集合的個數
【例18】 （2008安徽安慶）已知集合，且中至少含有乙個奇數，這樣的集合有（ ）
a．個 b．個 c．個 d．個
【例19】 求集合的子集的個數，真子集的個數，非空真子集的個數，並推導出的子集和真子集的個數．
創新題【例20】 對於兩個非空數集a，b定義點集如下：，若，，則點集的非空真子集的個數是（ ）個
a．14b．12c．13d．11
【例21】 （2010四川卷文16）設為實數集的非空子集．若對任意，，都有，，，則稱為封閉集．下列命題：
①集合為封閉集；
②若為封閉集，則一定有；
③封閉集一定是無限集；
④若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集．
其中真命題是寫出所有真命題的序號）
【例22】 （2010湖南文）若規定e=的子集為的第個子集，其中k= ，則
（1）是的第個子集；
（2）的第211個子集是_______
【例23】 （2009北京卷文14）設是整數集的乙個非空子集，對於，如果，且，那麼稱是的乙個「孤立元」．給定，由的個元素構成的所有集合中，不含「孤立元」的集合共有個．
【例24】 （2010湖南卷文15）若規定的子集為的第個子集，其中，則
（1）是的第____個子集；
（2）的第個子集是_______．
【例25】 求集合的所有子集的元素之和的和（規定空集的元素和為零）．
【習題1】集合的真子集共有（ ）
a．5個 b．6個 c．7個 d．8個
【習題2】用適當的符號填空：
（1）（2）___
（3）___
（4）____
（5）___
（6）（7）
【習題3】（2010海淀二模理1）已知集合，，則（ ）
abcd．
【習題4】（2009東城二模理1）已知集合，則滿足的集合的個數是（ ）
a． b． c． d．
【習題5】，求滿足條件的的個數．
【習題6】同時滿足a，且a中所有元素之和為奇數的集合a的個數（ ）
a． 5b． 6c． 7d． 8
【習題7】（2008安徽安慶）已知集合，且中至少含有乙個奇數，這樣的集合有（ ）
a．個 b．個 c．個 d．個
【習題8】已知，，，求的取值範圍．
20140903集合間的基本關係
1.1.2集合間的基本關係 第一部分預習課本 預習 閱讀教材第6 7頁，初步掌握 1 子集的概念及記法 2 真子集的概念及記法 3 子集 真子集的圖形表示 4 子集 真子集的性質 空集與集合a的關係 子集 真子集的傳遞性 第二部分完成學案 複習檢測 1 2 問題 1 實數之間存在著相等或不等關係，那...
集合間的基本關係 學生
知識清單 1.子集 對於兩個集合a與b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，我們就說集合a集合b，或說集合ba，記作.這是我們也說集合a是集合b的子集。需要注意以下幾點 1 a是b的子集 的含義是 集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，即由任意能推出.2 當a不是b的子集時，我們記作 ...
高一數學《1 1 2集合間的基本關係一》
1.1.2 集合間的基本關係 一 教學目標 1.知識與技能 理解集合的包含和相等的關係 了解使用venn圖表示集合及其關係 掌握包含和相等有關術語 符號，並會使用它們表達集合之間的關係.2.過程與方法 通過模擬兩個實數之間的大小關係，兩個集合之間的關係 通過例項分析，獲知兩個集合間的包含與相等關係，...