（2）概念中的「所有」兩字的含義是，不僅「a∩b中的任意元素都是a與b的公共元素」，同時「a與b的公共元素都屬於a∩b」．
（3）兩個集合求交集，結果還是乙個集合，是由集合a與b的所有公共元素組成的集合.
3.補集
全集：一般地，如果乙個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那麼就稱這個集合為全集，通常記作u.
補集：對於全集u的乙個子集a，由全集u中所有不屬於集合a的所有元素組成的集合稱為集合a相對於全集u的補集(complementary set)，簡稱為集合a的補集，記作：補集的venn圖表示：
要點詮釋：
（1）理解補集概念時，應注意補集是對給定的集合和相對而言的乙個概念，乙個確定的集合，對於不同的集合u，補集不同．
（2）全集是相對於研究的問題而言的，如我們只在整數範圍內研究問題，則為全集；而當問題擴充套件到實數集時，則為全集，這時就不是全集．
（3）表示u為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則記號中「u」也必須換成相應的集合（即）．
4.集合基本運算的一些結論
若a∩b=a，則，反之也成立
若a∪b=b，則，反之也成立
若x (a∩b)，則xa且xb
若x (a∪b)，則xa，或xb
求集合的並、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與並集的關鍵是「且」與「或」，在處理有關交集與並集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法.
【典型例題】
型別一、集合間的關係
例1. 集合，集合，那麼間的關係是（ ）.
a. b. cd.以上都不對
【答案】b
【解析】先用列舉法表示集合、，再判斷它們之間的關係.由題意可知，集合是非負偶數集，即.集合中的元素.
而（為正奇數時）表示0或正偶數，但不是表示所有的正偶數，即.由依次得0,2,6,12，，即.
綜上知， ，應選.
【總結昇華】判斷兩個集合間的關係的關鍵在於：弄清兩個集合的元素的構成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用venn圖，或數形集合表示）.
舉一反三：
【變式1】若集合，則（ ）.
a. b. cd.
【答案】c
例2. 寫出集合的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為，，，含有2個元素的子集有，，，含有3個元素的子集為，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.
【總結昇華】要寫出乙個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數的多少來分別寫出.當元素個數相同時，應依次將每個元素考慮完後，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有，，然後不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.
同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.
舉一反三：
【變式1】已知，則這樣的集合有個.
【答案】7個
【變式2】同時滿足：①；②，則的非空集合有（ ）
a. 16個 b. 15個 c. 7個 d. 6個
【答案】c
【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選c.
例3．集合a=，b=，c=，d=是否表示同一集合？
【答案】以上四個集合都不相同
【解析】集合a=的代表元素為x，故集合a表示的是函式y=x2+1中自變數x的取值範圍，即函式的定義域a=；
集合b=的代表元素為y，故集合b表示的是函式y=x2+1中函式值y的取值範圍，即函式的值域b=；
集合c=的代表元素為點（x，y），故集合c表示的是拋物線y=x2+1上的所有點組成的集合；
集合d=是用列舉法表示的集合，該集合中只有乙個元素：方程y=x2+1．
【總結昇華】認清集合的屬性，是突破此類題的關鍵.首先應當弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對於用描述法表示的集合一定要認準代表元素，準確理解對代表元素的限制條件．
舉一反三：
【變式1】 設集合，，則（ ）
a. b. c. d.
【答案】d
【解析】排除法：集合m、n都是點集，因此只能是點集，而選項a表示二元數集合，選項b表示二元等式集合，選項c表示區間（無窮數集合）或單獨的乙個點的座標（不是集合），因此可以判斷選d．
【變式2】 設集合，，則與的關係是（ ）
a. b. c. d.
【答案】a
【解析】集合m表示函式的定義域，有；
集合n表示函式的值域，有，故選a.
【高畫質課堂：集合的概念、表示及關係 377430 例2】
【變式3】 設m=，n=，則m與n滿足( )
a. m=n b. mn c. nm d. m∩n=
【答案】b
【解析】 當an+時，元素x=a2+1，表示正整數的平方加1對應的整數，而當bn+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合n中元素是自然數的平方加1對應的整數，即m中元素都在n中，但n中至少有乙個元素x=1不在m中，即mn，故選b.
【高畫質課堂：集合的概念、表示及關係 377430 例3】
例4．已知若m=n，則= ．
a．－200 b．200 c．－100d．0
【思路點撥】解答本題應從集合元素的三大特徵入手，本題應側重考慮集合中元素的互異性．
【答案】d
【解析】由m=n，知m，n所含元素相同.由o可知
若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了m中元素互異性，所以x≠0.
若x·y=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即n中元素0，y是相同元素，破壞了n中元素的互異性，故xy≠0
若，則x=y，m，n可寫為
m=，n=
由m=n可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上討論知不成立
若|x|=1即x=±1
當x=1時，m中元素|x|與x相同，破壞了m中元素互異性，故 x≠1
當x=-1時，m=，n=符合題意，綜上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【總結昇華】解答本題易忽視集合的元素具有的「互異性」這一特徵，而找不到題目的突破口．因此，集合元素的特徵是分析解決某些集合問題的切入點．
舉一反三：
【變式1】設a，br，集合，則b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特徵：
∴當b=1時，a=-1，
當時，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴綜上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
型別二、集合的運算
例5. 設集合，，，求.
【答案】,
【解析】先將集合、、、轉化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構成，再求其交集即可.
集合表示3的倍數所組成的集合；
集合表示除以3餘1的整數所組成的集合；
集合表示除以3餘2的整數所組成的集合；
集合表示除以6餘1的整數所組成的集合；
,.【總結昇華】求兩個集合的交集或並集，關鍵在於弄清兩個集合由哪些元素所構成的，因而有時需要對集合進行轉化，或具體化、形象化.如本例中轉化為用自然語言來描述這些集合，有利於弄清集合的元素的構成.
類似地，若乙個集合元素的特徵由不等式給出時，利用數軸就能使問題直觀形象起來.
舉一反三：
【變式1】已知集合m=，n=，則m∩n等於( )
ab. rc. ，n=，所以m∩n=，選d.
例6. 設集合m=，n=，m∩n=，則m∪n為( )
a. b. c. d.
【思路點撥】先把集合n化簡，然後再利用集合中元素的互異性解題．
【答案】d
【解析】由n=可得：n=，p=，求m∪p和m∩p；
（2）已知：a=， b=， 求：a∩b，a∪b；
（3）已知集合a=， b=， 其中ar，若a∩b=，求a∪b.
【答案】（1），；（2），r；（3）.
【解析】（1）p=，m∪p=，m∩p=.
（2）∵a=， b=， a∩b=， a∪b=r.
（3）∵a∩b=，-3b，則有：
①a-3=-3a=0， a=， b=a∩b=，與已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3a=-1， ∴ a=， b=， 符合題設條件，∴a∪b=.
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