知識清單:
1.子集
對於兩個集合a與b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，我們就說集合a集合b，或說集合ba，記作.這是我們也說集合a是集合b的子集。
需要注意以下幾點：
（1）「a是b的子集」的含義是：集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，即由任意能推出.
（2）當a不是b的子集時，我們記作「ab」（ba）.
（3）任何乙個集合是它本身的自己，因為對於任何乙個集合a，它的每一元素都屬於本身，記作.
例1 設集合，，且,求的值。
2．集合相等
如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，同時集合b中的任何乙個元素都是集合a中的元素，我們就說集合a等於集合b，記作a=b，讀作「a等於b」．
只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．當已知兩個集合相等時，這兩個集合的元素是完全相同的：①個數相等；②對於其中乙個集合的任乙個元素，在另乙個集合中也都可以找到這個元素．
[例] 下列各組中的兩個集合是否相等？為什麼？
(1)和； (2)和； (3).
理解集合相等的定義要注意以下三點：
(1)若ab，又ba，則a=b；反之，如果a= b，則ab，且ba．這就給出了我們證明兩個集合相等的辦法，即欲證a=b，只需證ab與ba都成立即可．
(2)兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無關．
(3)要判斷兩個集合是否相等，對於元素較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，看兩集合中的元素是否完全相同；若是無限集，應從「互為子集」兩方面人手進行判斷．
例2 由「」三個元素構成的集合與由「」三個元素構成的集合是同乙個集合，求的值。
3．真子集
如果集合a是集合b的子集，並且b中至少有乙個元素不屬於a，那麼集合a叫做集合b的真子集，記作ab或b a。即如果，且存在元素，那麼b。或者，若ab且a≠b，則ab．所以，集合a是集合b的子集(ab)，包含兩種情況：
一是集合a是集合b的子集；二是集合a 與集合b相等，即或ab。
例3 設集合，，且,求的值。
4．空集
一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作．空集是特殊的集合，不含有任何元素，規定它是有限集．
(1)空集和集合是不同的，是不含任何元素的集合，而表示只含有乙個元素「0」的集合．
(2)和{}也是不一樣的，是不含任何元素的集合，{}表示只含有乙個字母「」的集合，也可以看作由作為元素構成的集合．
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
例4 請判斷正確的有哪些？
5．元素與集合、集合與集合之間的關係
元素與集合的關係是屬於與不屬於的關係，用符號「」「」表示；集合與集合之間的關係是包含、不包含、真包含、相等的關係，用符號表示．
6．有限集合的子集的個數有限集合的子集個數：
(l)n個元素的集合有個子集．
(2)n個元素的集合有-1個真子集．
(3)n個元素的集合有-1個非空子集．
(4)n個元素的集合有-2個非空真子集．
例5 同時滿足：①;②,則的非空集合有（ ）
a 16個 b 15個 c 7個 d 6個
7．子集的概念與性質在解題中的應用
(1)子集的概念是由討論集合與集合間的關係引出的，兩個集合與之間的關係如下：
其中ab(或ba)表示集合a不包含於集合 b（或集合b不包含集合a）．
(2)子集具有以下性質：
①即任何乙個集合都是它本身的子集．
②如果ab，ba，那麼a=b．
③如果ab，bc，那麼ac．
④如果a b，bc，那麼ac．
(3)包含的定義也可以表述成：如果由任一，可以推出，那麼ab（或）．
不包含的定義也可以表述成：兩個集合a與b，如果集合a中存在至少乙個元素不是集合b中的元素。
(4)空集是任何集合的子集，即對於任乙個集合 a，都有．
在解決諸如ab，或ab類問題時，必須優先考慮a=時是否滿足題意．
[例] 已知集合，，若．求實數構成的集合.
8.數形結合在集合中的應用
利用數形結合的思想解決集合問題，常用的方法有數軸法、venn圖法等。
（1） ①用平面上封閉曲線的內部表示集合，這種圖稱為venn圖。
②用數軸來表示集合的方法叫數軸法，如的數軸表示如圖1-1-5所示。
（2） 用venn圖表示集合的好處在於，易引起清晰的視覺形象，能直觀地表示集合中元素的構成以及集合之間關係，缺點在於集合中元素的公共特徵不明顯。
（3）[例] 用venn圖表示下列集合之間的關係： =，，，。
(3)用形來代數，形象而直觀，因此數形結合的思想在數學中廣泛應用，數軸是表示實數的，任何乙個實數在數軸上均可用乙個點來表示，反之，數軸上任何一點都代表乙個實數．在數軸上表示乙個不等式的取值範圍，形象而直觀，因此也廣泛應用於求子集的問題中。
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集合 02集合的基本關係 A級 學生版
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高一數學《1 1 2集合間的基本關係一》
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