從勾股定理的反思談研究性課題的開發

本文擬結合勾股定理的反思，**數學教師如何結合教學內容，有意識地挖掘研究性課題，從而培養學生的創新意識和能力．

勾股定理是中學幾何中重要的基礎知識，在教學中若有意識地引導學生對與勾股定理有聯絡的問題進行反思，可得到一系列新結論．

勾股定理表明，在直角三角形中，斜邊的平方等於兩直角邊的平方和．若反思可提出問題：三角形中銳（鈍）角所對邊的平方與其餘兩邊的平方和是什麼關係呢？

如圖1，中，當為銳角，設法利用勾股定理找邊的平方關係．過b作為垂足，則在rt和rt中，，∴．同理，當為鈍角時，過b作為垂足，由勾股定理，得

因此得結論．

結論1 三角形中銳（鈍）角所對邊的平方小於（大於）其餘兩邊的平方和．

對於圖1，，恒等變形，得

結論2 三角形中銳（鈍）角所對邊的平方等於其他兩邊的平方和減去（加上）這兩邊中一邊與另一邊在它上面的射影之積的兩倍．

把斜邊直角三角形rt中的與直角邊，從幾何意義方面進行反思，可與正方形面積建立聯絡．

結論3 直角三角形中，以斜邊為邊向外作的正方形的面積等於以兩直角邊為邊向外作的正方形的面積之和．

若以斜邊c為邊的正三角形面積為，以直角邊為邊的正三角形面積，，∴（圖2）．這就有

結論4 在直角三角形中，以斜邊為邊向外作正三角形的面積等於以兩直角邊為邊向外作的正三角形面積之和．

繼續進行反思可知，在特殊三角形中，等腰直角三角形的面積為底邊平方的倍數，因此若以斜邊和兩直角邊為邊向外作等腰直角三角形時情形如何呢？

若以為底邊時作等腰直角三角形，（圖3），∴．若以為腰作等腰直角三角形時，．這就有

結論5 在直角三角形中，若以斜邊和兩直角邊為邊向外作等腰直角三角形，則以斜邊為底（腰）向外作的等腰直角三角形的面積等於以兩直角邊為底（腰）向外作的等腰直角三角形面積之和．

若所作的是一般的等腰三角形時，則三等腰三角形相似時結論仍成立（利用面積公式可求），即

結論6 在直角三角形中，若以斜邊為底向外作的等腰三角形和以兩直角進為底向外作的等腰三角形相似時，則以斜邊為邊向外作的等腰三角形面積等於以兩直角邊為底向外作的等腰三角形面積之和．

正方形可看作是正四邊形，對於正n邊形來說，因任意兩個正n邊形均相似，相似圖形和面積問題有緊密聯絡，且相似正n邊形面積之比等於相似比的平方．因此若以rt的為邊向外作三個正n邊形，設面積分別為，則，∴，∴，因此就有

結論7 直角三角形中以斜邊為邊向外作的正n邊形的面積等於以兩直角邊為邊向外作的正n邊形的面積和．

反思上述證明過程，問題的關鍵在於面積之比等於相似比的平方若以斜邊和兩直角邊為邊向外作的一邊形相似時，設為與之比，則，∴．

結論8 在直角三角形中，以斜邊和兩直角邊為邊向外作n邊形，若三個n邊形相似，則以斜邊為邊的n邊形面積等於以兩直角邊為邊的n邊形面積之和．

若把n邊形限定到三角形中時，可得到三角形中的有用結論．

結論9 在直角三角形中，若以斜邊為邊向外作的三角形與以兩直角邊為邊向外作的三角形相似時，則以斜邊為邊向外作的三角形面積等於以兩直角邊為邊向外作的三角形面積之和．

若以直角三角形三邊為直徑向外作半圓或圓時（圖4），它們的面積之間有何關係？

，∴．因此，有

結論10 在直角三角形中，以斜邊為直徑所作的圓（半圓）的面積等於以兩直角邊為直徑的圓（半圓）面積之和．

通過對勾股定理的橫向反思，得到了一系列新結論．若縱向反思，把的次數增高時，在直角三角形中，與的關係如何呢？由於，∴．同理若n為的自然數時，，而，∴，∴．所以有

結論11 在直角三角形中，兩直角進的立方和小於斜邊的立方．兩直角邊的n次方之和小於斜邊的n次方（）．以此為基礎，可把勾股定理模擬到空間，反思其結構得到新的結論．

結論12 長方體的對角線等於長、寬、高的平方之和（證略）．若把直角三角形和空間直四面體進行模擬，可得重要結論．

結論13 若四面體中有三側面兩兩互相垂直，則第四面面積的平方等於其他三面面積的平方和．（證略）

反思結論10是以直角三角形三邊為直徑作圓得到的，類似地若以直角三角形三邊為直徑作三個球，則以斜邊為直徑的球的體積與以兩直角邊為直徑的球體積和有何關係呢？

由於球的體積公式為，∴以斜邊c為直徑的球體積為，以直角邊為直徑的球體積，時，，∴．這就有

結論14 在直角三角形中，以兩直角進為直徑所作的球的體積之和小於以斜邊為直徑的球的體積．

在教學中如果有意識地引導學生進行反思性數學學習，從而不斷開發**性問題和研究性課題，對培養學生提出問題、發現問題，並學會分析問題以及創造性地解決問題具有非常重要的作用，以使創新意識和實踐能力的形成真正富有成效．