2023年二模測試卷圓的相關知識
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（1）試判斷線段ad與bc的長度之間有怎樣的數量關係？並證明你的結論；
（2）現有三個論斷：①ad = ab；②∠b +∠c
= 90°；③∠b = 2∠c．請從上述三個論斷中選擇乙個論斷作為條件，證明四邊形aefd是菱形．
（1）解：線段ad與bc的長度之間的數量為1分）
證明：∵ ad // bc，de // ab，∴ 四邊形abed是平行四邊形．
∴ ad = be2分）
同理可證，四邊形afcd是平行四邊形．即得 ad = fc．……（1分）
又∵ 四邊形aefd是平行四邊形，∴ ad = ef．……………（1分）
∴ ad = be = ef = fc．
1分）（2）解：選擇論斷②作為條件1分）
證明：∵ de // ab，∴ ∠b =∠dec1分）
∵ ∠b +∠c = 90°，∴ ∠dec +∠c = 90°．
即得 ∠edc = 902分）
又∵ ef = fc，∴ df = ef1分）
∵ 四邊形aefd是平行四邊形，
∴ 四邊形aefd是菱形1分）
2.（12年長寧）如圖,等腰梯形abcd中, ad∥bc,ab = dc, ac⊥bd,垂足為點o,過d點作de∥ac交bc的延長線於點e.
(1)求證: △bde是等腰直角三角形；
(2)已知,求ad:be的值.
（1）證: ∵ad//be 且be//ac
∴aced是平行四邊形 ∴ac=de （2分）
等腰梯形abcd ∴ac=bd ∴bd=de （2分）
ac⊥bd ∴∠boc=90°
∵ac//de ∴∠boc=∠bde=90°
∴△bde是等腰直角三角形. （2分）
（2）解：∵ad//bc ∴ ∴
等腰梯形abcd ∴ac=bd ∴oc=ob oa=od （2分）
ac//de ∴∠cde=∠dco ∴
在rt△dco中，設od=k，dc=k (k>0)，則oc= （2分）
∵平行四邊形acde ∴ad= ce
2分）3.（12嘉定、寶山）已知⊙、⊙外切於點t，經過點t的任一直線分別與⊙、⊙交於點a、b，（1）若⊙、⊙是等圓（如圖4），求證at =bt；
（2）若⊙、⊙的半徑分別為r、r（如圖5），試寫出線段at、bt與r、r之間始終存在的數量關係（不需要證明）．
解：（1）證明：聯結.
∵⊙、⊙外切於點t，∴點t在上. …1分
過、分別作、，垂足為c、d（如圖4），
1分1分
∵⊙、⊙是等圓，∴. …1分
1分 在⊙中，∵，∴.
同理1分
∴，即1分
（2）解：線段at、bt與r、r之間始終存在的數量關係是. … 3分
4.（12金山）已知：如圖，在中，，的平分線交於，，垂足為，鏈結，交於點．
（1）求證：；
（2）如過點作∥交於點，鏈結，
猜想四邊形是什麼圖形？並證明你的猜想．
證明：（1）∵，的平分線交於，
∴在△acd和△aed中
3分∴△acd≌△aed1分
∴ac=ae1分
1分（2）四邊形是菱形1分
∵ ac=ae，
∴ch=he1分
∵∥，∴
∴fh=hd3分
∴四邊形是菱形1分
5.（12松江）如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，∠bcd=90°，bc=dc，點e在對角線bd上，作∠ecf=90°，連線df，且滿足cf=ec．
（1）求證：bd⊥df．
（2）當時，試判斷
四邊形decf的形狀，並說明理由．
（1）證明1分）
1分）1分）
1分）1分）
1分）(2) 四邊形是正方形1分）
∵，∴， ∴…（2分）
1分）1分）
四邊形是矩形………………（1分）
∵， ∴四邊形是正方形
6.（12浦東）如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，bd平分∠abc，∠bad的平分線交bc於e，聯結ed.
⑴求證：四邊形abed是菱形；
⑵當∠abc ＝60°，ec＝be時，證明：梯形abcd是等腰梯形.
解：（1）∵ad∥bc，∴∠adb＝∠dbc，
又∵∠abd＝∠dbc，∴∠abd＝∠adb.
∴ab=ad2分）
同理有ab=be1分）
∴ad=be.
又∵ad∥be.
∴四邊形abed為平行四邊形2分）
又∵ab=be..
∴□abed為菱形1分）
（2）∵ab=be，∠abc=60°,
∴⊿abe為等邊三角形2分）
∴ab=ae.
又∵ad=be=ec, ad∥ec.
∴四邊形aecd為平行四邊形2分）
∴ae=dc.
∴ab=dc.
∴梯形abcd是等腰梯形2分）
7.（12普陀）如圖8，四邊形中，，點在的延長線上，聯結，交於點，聯結db ，，且.
(1) 求證：；
（2）當平分時，求證：四邊形是菱形.
（1）證明：∵，
2分）1分）
1分）1分）
(2) ∵，
又∵，1分）
1分）又∵，
∴四邊形是平行四邊形1分）
∵，1分）
∵平分，
1分）∴．
1分）∴四邊形是菱形1分）
8.（12奉賢）如圖，△abc中，∠abc=90°, e為ac的中點．
操作：過點c作be的垂線, 過點a作be的平行線，兩直線相交於點d，在ad的延長線上擷取df=be．鏈結ef、bd．
(1) 試判斷ef與bd之間具有怎樣的關係? 並證明你所得的結論；（2）如果af=13，cd=6，求ac的長．
解：如圖，（1）ef與bd互相垂直平分．………（1分）
證明如下：鏈結de、bf，∵be //df，
∴四邊形bedf是平行四邊形． ………（2分）
∵cd⊥be，∴cd⊥ad，
∵∠abc=90，e為ac的中點，
∴be=de2分）
∴四邊形bedf是菱形1分）
∴ef與bd互相垂直平分．
（2）設df=be=，則ac=2，ad=af–df=132分）
在rt△acd中，∵，（1分）∴．………（1分）
1分）∴ac=102分）
9.（12松江全真模擬一）已知：如圖，直線交與兩點，的垂線切與點，過點作的直徑。
（1）求證：平分。
（2）若，求的直徑。
10.（12楊浦）如圖，在△abc中，d是bc邊上的一點，e是ad的中點，過a點作bc的平行線交ce的延長線於點f，且af=bd，鏈結bf。
（1） 求證：bd=cd；
（2） 如果ab=ac，試判斷四邊形afbd的形狀，並證明你的結論。
證明：（11分
是的中點1分
又∵∠aef=∠dec，∴△aef≌△dec2分
1分1分
（2）四邊形是矩形2分
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