以幾何圖形為背景的壓軸題
閔行中心馬德巖
近年中考試題或模擬考題能反映命題風格、命題熱點、命題形式（特別是新題型）的新動向、新導向，以近年中考題為基本素材，有利於考生適應中考情境，提高中考複習的針對性。中考題型的創新形式主要有：情景題、應用題、開放題、操作題、探索題等，體現出「經歷、體驗、探索」的過程性目標。
此類題目是學生得分的薄弱環節，主要涉及到的題目為：圖形翻摺、平移、旋轉的運動變化、函式思想的形成、方程思想的建立等等。應對此類問題學生應該要用數學的眼光觀察世界，用數學知識、數學思想方法去分析問題、解決問題。
這類試題往往情景較為新穎，問題也較為靈活，每年的分值在25分左右。下面以2023年上海中考最後一題為點來分析這類問題解決的方法。
已知為線段上的動點，點在射線上，且滿足（如圖8所示）．
（1）當，且點與點重合時（如圖9所示），求線段的長；
（2）在圖8中，聯結．當，且點**段上時，設點之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關於的函式解析式，並寫出函式定義域；
（3）當，且點**段的延長線上時（如圖10所示），求的大小．
數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，在重點考查最基本、通用的數學規律和數學技能的同時，這道試題突出考查學生對數學思想方法的領悟。
解：（1）ad=2，且q點與b點重合，根據題意，∠pbc=∠pda，因為∠a=90。 pq/pc=ad/ab=1,所以：
△pqc為等腰直角三角形，bc=3，所以：pc=3 /2,
（2）如圖：根據題意，兩個三角形的面積可以分別表示成s1，s2， 高分別是h，h，則：s1=（2-x）h/2=（2*3/2）/2-(x*h/2)-(3/2)*(2-h)/2
s2=3*h/2 因為兩s1/s2=y，消去h,h,得：y=-(1/4)*x+(1/2),
定義域：當點p運動到與d點重合時，x的取值就是最大值，當pc垂直bd時，這時x=0，連線dc,作qd垂直dc，由已知條件得：b、q、d、c四點共圓，則由圓周角定理可以推知：
三角形qdc相似於三角形abd則qd/dc=ad/ab=3/4，令qd=3t,dc=4t,則：qc=5t，（t>0）由勾股定理得：直角三角形aqd中：
(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2直角三角形qbc中：3^2+x^2=(5t)^2整理得：(8x-7)(8x-43)=0得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(捨去) 所以函式:
y=-(1/4)*x+1/2的定義域為[0，7/8]
(3)因為：pq/pc=ad/ab,假設pq不垂直pc，則可以作一條直線pq′垂直於pc，與ab交於q′點，則：q′，b， p，c四點共圓，由圓周角定理推知，三角形p q′c相似於三角形abd，根據相似三角形的性質得：
pq′/pc=ad/ab,又由於pq/pc=ad/ab 所以，點q′與點q重合，所以角∠qpc=90。
近三年以來，上海中考對數學這個科目的考察越來越重視加強對**能力、獲取資訊和處理資訊能力、空間觀念操作能力和綜合運用數學知識解決問題能力的考查力度，加強對學生數學思維過程和思維方法的考查；如有關圖形運動變換試題，重點對空間觀念和動態圖形處理能力的考查，從對靜態圖形的想象、簡單動態圖形的想象、複雜動態圖形的想象等幾個不同層次對考生能力作恰當要求。而這樣的題目對考生來說乍一看來是無從下手的，即使有的考生有能力完成，但限於時間上的要求往往不能全面的分析這類問題。想要有條理的分析解決這類問題應該注重以下技能的培養
①深刻理解基礎知識，熟練掌握解題基本方法，努力形成解題基本技能。
②合理安排考試時間，書寫做到數學語言是通用、精確、簡約的科學語言。
③平時進行速度訓練。以此來加快書寫速度，降低思維難度，提高解題質量。
而對於即將步入初三的學生來說，如何學會有效的學習，把學習效率發揮到及至，以下是幾點建議：
①中考試題或模擬考題經過考生的實踐檢驗和廣大教師的深入研討，科學性強（漏洞也清楚），解題思路明朗，解題書寫規範，評分標準清晰，是優質的訓練素材。
②中考試題或模擬考題都努力抓課程的重點內容和重要方法，並且每套中考試題或模擬考題能覆蓋全部知識點的60%～80%，幾套試題一交叉，既保證了全面覆蓋，又體現了重點突出。
以下是今年來涉及到得以幾何圖形為背景的壓軸題目
1、正方形abcd的邊長為2，e是射線cd上的動點（不與點d重合），直線ae交直線bc於點g，∠bae的平分線交射線bc於點o．（1）如圖8，當ce= 時，求線段bg的長；
（2）當點o**段bc上時，設 ，bo=y，求y關於x的函式解析式；
（3）當ce=2ed時，求線段bo的長．（2023年中考真題25題）
2、如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝12，bc＝16，動點p從點a出發沿ac邊向點c以每秒3個單位長的速度運動，動點q從點c出發沿cb邊向點b以每秒4個單位長的速度運動．p，q分別從點a，c同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△pcq關於直線pq對稱的圖形是△pdq．設運動時間為t（秒）．
（1）設四邊形pcqd的面積為y，求y與t的函式關係式；
（2）t為何值時，四邊形pqba是梯形？
（3）是否存在時刻t，使得pd∥ab？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）通過觀察、畫圖或摺紙等方法，猜想是否存在時刻t，使得pd⊥ab？若存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段內（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，請簡要說明理由．
3、如圖，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc=50，ad=75，bc=135．點p從點b出發沿折線段ba-ad-dc以每秒5個單位長的速度向點c勻速運動；點q從點c出發沿線段cb方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點q向上作射線qk⊥bc，交折線段cd-da-ab於點e．點p、q同時開始運動，當點p與點c重合時停止運動，點q也隨之停止．設點p、q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當點p到達終點c時，求t的值，並指出此時bq的長；
（2）當點p運動到ad上時，t為何值能使pq∥dc？
（3）設射線qk掃過梯形abcd的面積為s，分別求出點e運
動到cd、da上時，s與t的函式關係式；（不必寫出t的取值範圍）
（4）△pqe能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值範圍；若不能，請說明理由．
、2023年上海市中考壓軸題解題方法之我見
黃浦中心朱合強
今年中考試卷壓軸題綜合考察了平面幾何和函式相結合等有關知識，對於本題的考察上海市延續了幾年，故對此題我們有研究的必要性！
【原題再現】
25．（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）
已知為線段上的動點，點在射線上，且滿足（如圖8所示）．
（1）當，且點與點重合時（如圖9所示），求線段的長；
（2）在圖8中，聯結．當，且點**段上時，設點之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關於的函式解析式，並寫出函式定義域；
（3）當，且點**段的延長線上時（如圖10所示），求的大小．
分析：這道壓軸試題遵循了以往的考試風格，是結合乙個動點問題加上相似的綜合考查，出題目模型也很是簡單，重點考查學生的分析能力，畫圖能力，動點問題的試題只要學生能畫出題目所有需要的最終影象那問題也便游刃而解。從現在09年的幾個區的二模壓軸試題中也可以看到一些這類試題的影子。
例如09年的楊浦區的二區最後一題25．（本題14分）（第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分）
如圖，梯形abcd中，ad//bc，cd⊥bc，已知ab=5，bc=6，cosb=．點o為bc邊上的動點，聯結od，以o為圓心，bo為半徑的⊙o分別交邊ab於點p，交線段od於點m，交射線bc於點n，聯結mn．
（1） 當bo=ad時，求bp的長；
（2） 點o運動的過程中，是否存在bp=mn的情況？若存在，請求出當bo為多長時bp=mn；若不存在，請說明理由；
（3） 在點o運動的過程中，以點c為圓心，cn為半徑作⊙c，請直接寫出當⊙c存在時，⊙o與⊙c的位置關係，以及相應的⊙c半徑cn的取值範圍。
今年的中考試題的解答如下：
解：分析.因為有q點與b點重合,重點抓住題目的這一重要條件: pq/pc=ad/ab便知△pqc為等腰直角三角形,故易求的pc=3 /2
（1）ad=2，且q點與b點重合，根據題意，∠pbc=∠pda，因為∠a=90。 pq/pc=ad/ab=1,所以：△pqc為等腰直角三角形，bc=3，所以：pc=3 /2,
（2）分析.第二小題重點靠抓住作出兩個三解形的高,設而不求,在結果中可以消去,從而達到求解的目的.
如圖：新增輔助線，根據題意，兩個三角形的面積可以分別表示成s1，s2， 高分別是h，h，
則：s1=（2-x）h/2=（2*3/2）/2-(x*h/2)-(3/2)*(2-h)/2
s2=3*h/2 因為兩s1/s2=y，消去h,h,得：
y=-(1/4)*x+(1/2), 或者是y=（2-x）/4
定義域：當點p運動到與d點重合時，x的取值就是最大值，當pc垂直bd時，這時x=0，連線dc,作qd垂直dc，由已知條件得：b、q、d、c四點共圓，則由圓周角定理可以推知：
三角形qdc相似於三角形abd
qd/dc=ad/ab=3/4，令qd=3t,dc=4t,則：qc=5t，由勾股定理得：
直角三角形aqd中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形qbc中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(捨去) 所以函式:
y=-(1/4)*x+1/2的定義域為[0，7/8]
注意：在運動過程中應該保持pq垂直pc
(3)分析.第三問可以直觀的觀察到=90度.再想法利用比例關係不難證的.
因為：pq/pc=ad/ab,假設pq不垂直pc，則可以作一條直線pq′垂直於pc，與ab交於q′點，
則：b，q′，p，c四點共圓，由圓周角定理，以及相似三角形的性質得：
pq′/pc=ad/ab,
又由於pq/pc=ad/ab 所以，點q′與點q重合，所以角∠qpc=90。
解法二：作pm垂直ab，pn垂直bc
先證明pm/mb=ad/ab
於是pm/mb=pq/pc
再證mb=pn
於是pm/pn=pq/pc
由直角三角形相似的判定可得△pmq相似於△pnc
得角mpq=角npc
於是可得角qpc=90度.
2023年上海中考數學模擬試卷
第一學期初三年級數學17 一 選擇題 本大題共6題，每題4分，滿分24分 1 下列敘述正確的是 a 兩個直角三角形都相似b 兩個等腰三角形都相似 c 兩個等腰直角三角形相似 d 有一角是80 的等腰三角形都相似 2 在 abc中，點d e分別在邊ab和ac上，下列條件中，不能推得de bc的是 a ...
2019上海中考物理試卷答案 評價
一 填空題 1 a 2 b 3 c 4 b 5 a 6 b 7 d 8 c 二 填空題 9 1 併聯 2 電 3 1.5 10 4 運動狀態 5 運動 6 增大 11 7 增大 8 熱傳遞 9 8.4104 12 10 0.3 11 9 12 10。13 13 49 14 豎直向下 15 19.6 ...
2019上海中考作文
2013上海中考作文范文 今天，我想說說心裡話 請問，你的夢想是什麼？這本應該是再普通不過的乙個問題，我本應該自信滿滿，流利地完整答出它。可一時間心頭思緒萬千，喉中更像有一團棉絮澀澀地堵著。我愣愣地站在那兒，最後只能含糊不清地吐出幾個字 我 我沒有夢想。其實心中早已有乙個明確的答案 其實比誰都迫切地...