前言：一、線代的特點：
1、內容抽象
2、概念多
3、符號多
4、計算原理簡單但計算量大
5、證明簡潔但技巧性強
6、應用廣泛
二、學習中要注意的問題
1、不要急於求成，不要急於做難題。要分層次，扎扎實實的學習
2、熟練掌握基本內容。
基本概念（定義、符號）
基本結論（定理、公式）
基本計算（計算行列式、解線性方程組、求逆矩陣等）
基本證明和推理方法
3、自己動手推證書中的每個結果
盡量體會結論、證明的思想方法
用自己喜歡的方式寫出簡要總結
4、貫穿前後，注意發現線代課內容的重要規律。
提出問題的規律（存在、個數、結構、求法）
變換和標準形式（如行列式和上三角行列式）
問題相互轉化
5、要多與同學討論，虛心向別人請教問題。要經常提出問題，思考問題，樂於同別人交
流該方法引至李永樂老師的講義，由kj1234cn整理
一、行列式等於零的證明方法
例題1：a^2=a,a≠e,證明|a|=0(複習全書理工類p364例1.35)
由於書上已經有詳盡的解題方法（四種），kj不再複述，kj在此只強調證法二
在這裡有一種常見的錯誤解法
由a^2＝a，有a（a－e）＝0，∵a≠e∴（a－e）≠0，∴a=0 ∴|a|=0
其錯誤在於沒有搞清楚矩陣的運算規則，ab＝0，若b≠0不能推出a＝0。
例如[1 1][ 1 1]
[1 1][-1 -1]=0,但是a、b都不等於0
（kj廢話：該種方法由錯誤的方法解出了正確的答案，很多人在做題過程中經常只對答
案而不管過程，考試的時候也使用他用過的錯誤的方法，結果出來的分數與他估計的相
去甚遠，其原因我想也就在與此！他們沒有細細體味書上的解題過程，也沒有反省自己
的解題方法與書上的不同之處。kj奉勸大家，在看書時，對於例題一定要先做後看，並
對和書上的不同的解題方法細細體會，辨別對錯）
二、矩陣等於零的證明方法
例題2：a是m*n的矩陣，b是n*p的矩陣，r(b)=n。證明當ab＝0時，a＝0
證法一：《方法》矩陣的秩等於0，則矩陣等於0
∵ab＝0，∴b的每一列都是ax＝0的解
又∵齊次方程組的基礎解系的向量個數＝未知數的個數－係數矩陣的秩；r(b)=n
∴ax＝0的解中至少有n個線性無關，n-r(a)≥n
∴0≤r(a)≤0 ∴r(a)=0
證法二：
∵r(b)=n∴設β1，β2......βn是b中線性無關的列向量
設b1＝(β1，β2......βn),則b1可逆
∴ab1=0
∴ab1b1^-1=0b1^-1=0
∴a =0
證法三：《方法》矩陣的每乙個元素都為0
將a按矩陣的通用表示方法表示，b按行分列
[a11 ... a1n]
a[an1 ... ann]
[α1]
[α2]
[...]=b
[αn]
則[a11α1+...+a1nαn]
ab=0
[an1α1+...+annαn]
∴有方程組
[a11α1+...+a1nαn=0
0[an1α1+...+annαn=0
∵r(b)=n∴α1...αn現性無關
∴a11 ... a1n＝0
an1 ... ann=0
∴a=0
通過方法三，我們要注意到矩陣乘法的一些簡便運算，即:初等矩陣p左(右)乘a，所得p
a(ap)就是a作了一次與p同樣的行(列)變換。
例如：[ 1 0 0]
[ 0 1 0]
[-1 0 1]相當於第一行乘以－1加到第三行
再如：[ 1 0 1][ 1 2 3]
[ 0 1 0][ 2 3 4]=
[ 1 2 0][ 3 4 5]
[α1+α3]
[α2]
[α1+2α2]=
[4 6 8]
[2 3 4]
[5 8 11]
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