系統狀態方程：
在判斷系統的穩定性時，根據線性定常系統的李雅普諾夫穩定性判據，需要判斷是否存在實對稱矩陣p，使得：
成立，其中q為正定矩陣。
那麼判斷系統穩定性的問題，可以轉化為下面不等式是否存在解的問題：
這種不等式解是否存在的問題可以用matlab的lmi工具箱進行判斷。
setlmis() ：開始乙個線性矩陣不等式系統的描述；
x= lmivar(type,struct)：定義乙個新的矩陣變數；
lmiterm(termid,a,b,flag)：確定線性矩陣不等式的乙個項的內容；
lmisys = getlmis：結束乙個線性矩陣不等式系統的描述，返回這個現行矩陣不等式系統的內部表示向量lmisys；
x = dec2mat(lmisys,decvars,xid)：由給定的決策變數得到相應的矩陣變數值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性問題的求解器函式，tmin大於0時，表明lmi系統不可行，p陣無解，系統不穩定，tmin小於0時，便可以用dec2mat函式求解出p矩陣。
可以看到，**結果tmin＜0，因此p陣存在，系統是穩定的。進一步用dec2mat函式求解出p矩陣。得：
該問題對應矩陣工具箱中的lmi約束的線性目標函式最小化優化問題。一般採用mincx求解器求解。
考慮這樣乙個優化問題：
其中：decvars = mat2dec(lmisys,x1,x2,x3,...) ：由給定的矩陣變數得到相應的決策變數值；
[copt,xopt]=mincx(lmis,c,options)：用於給定的特徵值問題求解，copt返回全域性最優的決策變數,xopt返回決策變數的最優解。相應的矩陣變數的最優解可以用函式dec2mat從xopt得到。
evlmi=evallmi(lmis,xopt)：對給定的決策變數xopt，求取系統的值；
[lhs,rhs]=showlmi(evlmi,1)：顯示第乙個線性矩陣不等式的左邊和右邊的矩陣值。這個不等式的成立與否可以通過eig(lhs-rhs)來檢驗。
如果返回的結果是負定的，那麼表示xopt滿足第乙個線性矩陣不等式。
下面給出evp優化問題的分析結果：
可以看到，flag為負定，說明xopt是要求的矩陣不等式的解。
廣義特徵值問題一般是用來尋找乙個最小的λ，使得其滿足下面的矩陣不等式組：
假設有如下的三個系統：
其中，分別為：
要求尋找乙個單一的lyapunov函式來驗證給定的三個系統的穩定性，同時要求衰減率最大化。這樣的乙個問題等價於如下的優化問題：
[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)：用於求解廣義特徵值的線性矩陣不等式問題；
由**結果可以看出，得到的alpha=-0.122是給問題的最優值，因此相應的最大衰減率是0.122，最優解如**結果中的popt所示。
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