計算n階行列式的若干方法舉例
n階行列式的計算方法很多，除非零元素較少時可利用定義計算（①按照某一列或某一行展開②完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同乙個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，並舉例說明。
1．利用行列式定義直接計算
例計算行列式
解 dn中不為零的項用一般形式表示為 .
該項列標排列的逆序數t（n－1 n－2…1n）等於，
故 2．利用行列式的性質計算
例： 乙個n階行列式的元素滿足則稱dn為反對稱行列式， 證明：奇數階反對稱行列式為零.
證明：由知，即
故行列式dn可表示為，由行列式的性質，
當n為奇數時，得dn =－dn，因而得dn = 0.
3．化為三角形行列式
若能把乙個行列式經過適當變換化為三角形，其結果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的乙個重要方法。
化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。
原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對於階數高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。
例1 計算行列式．
解這是乙個階數不高的數值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算．
例2 計算n階行列式．
解這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結構相似，因此n列之和全同．將第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．
例3 計算n階行列式
解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據行列式的性質，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不變，得
例4：浙江大學2023年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2023年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：
[分析]顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數是差1的，根據行列式的性質，先從第n-1列開始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然後把第1行乘以－1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。
解：4．降階法（按行（列）展開法）
降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是根據行列式的特點，先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然後再展開。
例1、計算20階行列式
[分析]這個行列式中沒有乙個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*20－1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。
注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：
解：例2 計算n階行列式
解將dn按第1行展開
.例3 計算n（n≥2）階行列式．
解按第一行展開，得．
再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到
．5．遞（逆）推公式法
遞推法是根據行列式的構造特點，建立起與的遞推關係式，逐步推下去，從而求出的值。 有時也可以找到與 ， 的遞推關係，最後利用 ， 得到的值。
［注意］用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關係式，從而不能使用此方法。
例1 計算行列式.
解：將行列式按第列展開,有,
得 。
同理得 ,
例2 計算解同理
聯立解得
當時,例3 計算n階行列式．
解首先建立遞推關係式．按第一列展開，得：
這裡與有相同的結構，但階數是的行列式．
現在，利用遞推關係式計算結果．對此，只需反覆進行代換，得：
因，故．
最後，用數學歸納法證明這樣得到的結果是正確的．
當時，顯然成立．設對階的情形結果正確，往證對n階的情形也正確．由
、可知，對n階的行列式結果也成立．根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立．
例4 證明n階行列式．
證明按第一列展開，得．
其中，等號右邊的第乙個行列式是與有相同結構但階數為的行列式，記作；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到乙個也與有相同結構但階數為的行列式，記作．
這樣，就有遞推關係式：．
因為已將原行列式的結果給出，我們可根據得到的遞推關係式來證明這個結果是正確的．
當時，，結論正確．當時，，結論正確．
設對的情形結論正確，往證時結論也正確．
由可知，對n階行列式結果也成立．
根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立．
例5、2023年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：
（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）
［分析］此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其餘的元素都為零，這種行列式稱「三對角」行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看，即知dn-1與dn具有相同的結構。
因此可考慮利用遞推關係式計算。
證明：dn按第1列展開，再將展開後的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：
這是由dn-1 和dn-2表示dn的遞推關係式。若由上面的遞推關係式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關係式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：
或 現可反覆用低階代替高階，有：
同樣有：
因此當時
由（1）（2）式可解得：，證畢。
6．利用範德蒙行列式
根據行列式的特點，適當變形（利用行列式的性質——如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當的數加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。
其中範德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。
例1 計算行列式
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得範德蒙行列式
例2 計算階行列式．其中．
解這個行列式的每一行元素的形狀都是， 0，1，2，…，n．即按降冪排列，按公升冪排列，且次數之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，則d可化為乙個轉置的範德蒙行列式，即
例3 計算行列式.
解：例4 計算行列式
解作如下行列式,使之配成範德蒙行列式
= 易知等於中的係數的相反數,而中的係數為 ,因此,
例5、 計算n階行列式
解：顯然該題與範德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質把它化為範德蒙行列式的型別。
先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，…,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，…,2行對換，繼續仿此作法，直到最後將第n行與第n-1行對換，這樣，共經過（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行對換後，得到
上式右端的行列式已是範德蒙行列式，故利用範德蒙行列式的結果得：
7．加邊法（公升階法）
加邊法（又稱公升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。
它要求：1 保持原行列式的值不變； 2 新行列式的值容易計算。根據需要和原行列式的特點擊取所加的行和列。
加邊法適用於某一行（列）有乙個相同的字母外，也可用於其第列（行）的元素分別為 n-1 個元素的倍數的情況。
例1 計算n階行列式
解：例2 計算n（n≥2）階行列式，其中．
解先將添上一行一列，變成下面的階行列式：
．顯然，．
將的第一行乘以後加到其餘各行，得．
因，將上面這個行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得：
8．數學歸納法
當與是同型的行列式時，可考慮用數學歸納法求之。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。
因為給定乙個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然後再去證明。（數學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這裡就不再說了）
例1 計算n階行列式
解：用數學歸納法. 當n = 2時
假設n = k時，有
則當n = k+1時，把dk+1按第一列展開，得
由此，對任意的正整數n，有
例2 計算行列式.
解：,於是猜想 .
證明：對級數用第二數學歸納法證明.
時,結論成立.假設對級數小於時，結論成立.將級行列式按第行展開，有
.例3 計算行列式
解：猜測：
證明（1）n = 1, 2, 3 時，命題成立。假設n≤k – 1 時命題成立,考察n=k的情形：
故命題對一切自然數n成立。
9．拆開法
拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數和的形式，再利用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和，把乙個複雜的行列式簡化成兩個較為簡單的。使問題簡化以利計算。
例1 計算行列式
解： =……
．例2 計算n（n≥2）階行列式．
解將按第一列拆成兩個行列式的和，即
．再將上式等號右端的第乙個行列式第i列（，3，…，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的公因子，則可得到
當n≥3時，．當時，．
例3 計算n階行列式 ，（）．
解將第一行的元素都表成兩項的和，使變成兩個行列式的和，即
將等號右端的第乙個行列式按第一行展開，得： ．
這裡是乙個與有相同結構的階行列式；將第二個行列式的第一行加到其餘各行，得：
於是有1）
另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項之和：
仿上可得： （2）
將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然後相減以消去，得：．
．計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。
總的原則是：充分利用所求行列式的特點，運用行列式性質及上述常用的方法，有時綜合運用以上方法可以更簡便的求出行列式的值；有時也可用多種方法求出行列式的值。學習中多練習，多總結，才能更好地掌握行列式的計算。
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