計算行列式並無固定的方法．其實，同乙個行列式可以有多種不同的方法進行計算．因此，除了掌握好行列式的基本性質外，針對行列式的結構特點，選取恰當的方法，才能較快地酸楚行列式．這一講，我們將介紹一些常用的方法．
1． 化為已經熟悉的行列式來計算
我們已經知道上（下）三角行列式、範德蒙行列式以及形如
， 的行列式的結果．如果利用行列式的性質可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值．
為了敘述簡便，仍用記號表示互換行列式的第i行（列）與第j行（列）；用表示將行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示將第i行（列）乘以非零的數c．
例1 計算行列式
．解這是乙個階數不高的數值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算．
例2 計算n階行列式
．解這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結構相似，因此n列之和全同．將第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．
例3 計算階行列式
．其中．
解這個行列式的每一行元素的形狀都是， 0，1，2，…，n．即按降冪排列，按公升冪排列，且次數之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，則d可化為乙個轉置的範德蒙行列式，即
2． 降階法
當乙個行列式的某一行（列）的元素有比較多0時，利用行列式的依行（列）展開定理將它化為較低階的行列式來計算．
例4 計算n（n≥2）階行列式
．解按第一行展開，得
．再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到
．3． 拆項法
拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素都寫成同樣多的和，然後利用性質6將它表成一些比較容易計算的行列式的和．
例5 計算n（n≥2）階行列式
．解將按第一列拆成兩個行列式的和，即
．再將上式等號右端的第乙個行列式第i列（，3，…，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的公因子，則可得到
當n≥3時，．
當時，．
例6 計算n階行列式
，（）．
解將第一行的元素都表成兩項的和，使變成兩個行列式的和，即
將等號右端的第乙個行列式按第一行展開，得：
．這裡是乙個與有相同結構的階行列式；將第二個行列式的第一行加到其餘各行，得：
於是有1）
另一方面，如果將的第一行元素用另一方式表成兩項之和：
仿上可得：
2）將（1）式兩邊乘以，（2）式兩邊乘以，然後相減以消去，得：
．4． 加邊法
在給定的行列式中添上一行和一列，得加邊行列式，建立新的行列式與原行列式的聯絡，以求得結果．
例7 計算n（n≥2）階行列式
，其中．
解先將添上一行一列，變成下面的階行列式：
．顯然，．將的第一行乘以後加到其餘各行，得
．因，將上面這個行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得：故．
5． 遞推法
遞推法是根據行列式的構造特點，利用行列式的性質，將給定的行列式表成若干個具有相同形狀以及一些容易計算的，但階數較低的行列式之和，然後利用這種關係式計算原行列式的值，最後再用數學歸納法證明所得到的結果正確．這是一種頗常使用的方法，在計算範德蒙行列式時已建立過遞推關係式，本講的例6也利用了遞推關係式．
使用遞推法計算行列式，一般分三個步驟，首先找出遞推關係式，然後算出結果，最後用數學歸納法證明結果正確．
例8 計算n階行列式
．解首先建立遞推關係式．按第一列展開，得：
這裡與有相同的結構，但階數是的行列式．
現在，利用遞推關係式計算結果．對此，只需反覆進行代換，得：
因，故．
最後，用數學歸納法證明這樣得到的結果是正確的．
當時，顯然成立．設對階的情形結果正確，往證對n階的情形也正確．由
可知，對n階的行列式結果也成立．
根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立．
例9 證明n階行列式
．證明按第一列展開，得
．其中，等號右邊的第乙個行列式是與有相同結構但階數為的行列式，記作；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到乙個也與有相同結構但階數為的行列式，記作．這樣，就有遞推關係式：
．因為已將原行列式的結果給出，我們可根據得到的遞推關係式來證明這個結果是正確的．
當時，，結論正確．
當時，，結論正確．
設對的情形結論正確，往證時結論也正確．
由可知，對n階行列式結果也成立．
根據歸納法原理，對任意的正整數n，結論成立．
行列式的計算方法
1.遞推法 例1 求行列式的值 1 的構造是 主對角線元全為 主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其餘元全為0 即為三對角線型。又右下角的 n 表示行列式為n階。解把類似於，但為k階的三對角線型行列式記為。把 1 的行列式按第一列展開，有兩項，一項是 另一項是 上面的行...
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線性代數特殊行列式及行列式計算方法總結
一 幾類特殊行列式 1.上 下 三角行列式 對角行列式 教材p7例5 例6 2.以副對角線為標準的行列式 3.分塊行列式 教材p14例10 一般化結果 4.範德蒙行列式 教材p18例12 注 4種特殊行列式的結果需牢記！以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！二 低階行列式計算 二階 三階行列式 對角...