黃正敏（莆田學院數學系2002級，福建莆田）
摘要：歸納行列式的各種計算方法，並舉例說明了它們的應用，同時對若干特殊例子進行推廣。
關鍵詞：行列式；範德蒙行列式；矩陣；特徵植；拉普拉斯定理；析因法；輔助行列式法
行列式的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何乙個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!
項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。
接下來要介紹計算行列式的兩種最基本方法――化三角形法和按行（列）展開法。
方法1 化三角形法
化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。
原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對於階數高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。
例1：浙江大學2023年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2023年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：
[分析]顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數是差1的，根據行列式的性質，先從第n-1列開始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然後把第1行乘以－1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。
解：[問題推廣]
例1中，顯然是1,2，…，n-1,n這n個數在迴圈，那麼如果是a0,a1,…,an-2,an-1這n個無規律的數在迴圈，行列式該怎麼計算呢？把這種行列式稱為「迴圈行列式」。[2]
從而推廣到一般，求下列行列式：
解：令首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：
為范德蒙行列式
又例1中，迴圈的方向與該推廣在方向上相反
所以例1與
相對應與例1的答案一致。
方法2 按行（列）展開法（降階法）
設為階行列式，根據行列式的按行（列）展開定理有
或 其中為中的元素的代數余子式
按行（列）展開法可以將乙個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開並不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發揮真正的作用。
因此，應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。
例2，計算20階行列式[9]
[分析]這個行列式中沒有乙個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*20－1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。
注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：
解：以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質和基本方法結合起來。
下面是一常用的方法：
方法3 遞推法
應用行列式的性質，把乙個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關係式，這種關係式稱為遞推關係式。根據遞推關係式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。
［注意］用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關係式，從而不能使用此方法。
例3，2023年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：
（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）
［分析］此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其餘的元素都為零，這種行列式稱「三對角」行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看，即知dn-1與dn具有相同的結構。
因此可考慮利用遞推關係式計算。
證明：dn按第1列展開，再將展開後的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：
這是由dn-1 和dn-2表示dn的遞推關係式。若由上面的遞推關係式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關係式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：
或 現可反覆用低階代替高階，有：
同樣有：
因此當時
由（1）（2）式可解得：
證畢。［點評］雖然我們從乙個行列式中可以看出有低階的相同的結構，然後得到一遞推關係式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關係式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當地換遞推關係式，如本題。
方法4 加邊法（公升階法）
有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或公升階法。當然，加邊後必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據需要和原行列式的特點擊取所加的行和列。
加法適用於某一行（列）有乙個相同的字母外，也可用於其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數的情況。
加邊法的一般做法是：
特殊情況取或
當然加法不是隨便加一行一列就可以了。那麼加法在何時才能應用呢？關鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：
例4、計算n 階行列式：[8]
[分析] 我們先把主對角線的數都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2,…, xn相乘，第二行為x2與x1,x2,…, xn相乘，……，第n行為xn與 x1,x2,…, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,…, xn，從而就可考慮此法。
解：[注意] 在家一定要記住，加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那麼公升階之後，就可利用行列式的性質把絕大部分元素化為零，然後再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的效果。
方法5 拆行（列）法
由行列式拆項性質知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。
由行列式的性質知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質，有時較容易求得行列式的值。
例5、 南開大學2023年研究生入學考試題第1大題，要求下列行列式的值：
設n階行列式：
且滿足對任意數b，求n階行列式
[分析]該行列式的每個元素都是由兩個數的和組成，且其中有乙個數是b，顯然用拆行（列）法。
解：也為反對稱矩陣
又為的元素
從而知：
方法6 數學歸納法
一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定乙個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然後再去證明。
（數學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這裡就不再說了）
例6_.證明：
證：當時，有：
結論顯然成立。
現假定結論對小於等於時成立。
即有：將按第1列展開，得：
故當對時，等式也成立。
得證。接下來介紹一些特殊的行列式計算方法，但卻很實用。
方法7 析因法
如果行列式d中有一些元素是變數x（或某個參變數）的多項式，那麼可以將行列式d當作乙個多項式f(x)，然後對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差乙個常數因子c，根據多項式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項的係數，求出c值，便可求得d=cg(x) 。
那在什麼情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數x），若x等於某一數a1時，使得兩行相同，根據行列式的性質，可使得d=0。那麼x a1便是乙個一次因式，再找其他的互異數使得d=0，即得到與d階數相同的互素一次因式，那麼便可用此法。
例7_.蘭州大學2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。
[分析] 根據該行列式的特點，當時，有。但大家認真看一下，該行列式dn+1是乙個n+1次多項式，而這時我們只找出了n個一次因式,那麼能否用析因法呢？我們再仔細看一下，每行的元素的和數都是一樣的，為：
，那麼我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現提出公因式，這樣行列式的次數就降了一次。從而再考慮析因法。
解：令：
顯然當：時， _。
又為n次多項式。
又中的最高次項為，係數為1， c=1
因此得：
[點評] 該題顯然用析因法是最簡便，但大家不要一味地只找使它等於0的數，而該最多只能有n個數使它等於0，而行列式又是n+1階是乙個n+1次多項式，從而我們想到的就是得用行列式的性質把行列式的次數降低一次，使得原n+1次多項式變為乙個一次多項式和乙個n次多項式的乘積。進而便可求得其值。
凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對於乙個n次多項式，當你最多只能找出r個使其行列式為零時，就要把它化為乙個nr次多項式與乙個r次多項式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個數與行列式的次數差太多時，不用本法。
方法8_.輔助行列式法
輔助行列式法應用條件：行列式各行（列）和相等，且除對角線外其餘元素都相同。
解題程式：
1）在行列式d的各元素中加上乙個相同的元素x，使新行列式除主對角線外，其餘元素均為0；
2）計算的主對角線各元素的代數余子式;
3) 例8_.大連理工大學2023年碩士生入學考試《高等代數》試題，第一大題填空題第2小題需求下列n階行列式的值。
解：在的各元素上加上後，則有：
又，其餘的為零。
[點評]若知道輔助行列式法的解題程式，用此法就可輕鬆地解出此題。但根據該行列式的特點，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。
以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡單地給出其應用，只要記住公式，會應用就行。
行列式的計算方法
1.遞推法 例1 求行列式的值 1 的構造是 主對角線元全為 主對角線上方第一條次對角線的元全為，下方第一條次對角線的元全為1，其餘元全為0 即為三對角線型。又右下角的 n 表示行列式為n階。解把類似於，但為k階的三對角線型行列式記為。把 1 的行列式按第一列展開，有兩項，一項是 另一項是 上面的行...
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