第一章行列式
問題與背景中學我們就學過解二元一次方程組、三元一次方程組。我們能不能得到乙個求解二元一次方程組、三元一次方程組等元線性方程組的公式呢？
我們先從二元一次方程組入手。利用加減消元法，我們很容易得到二元一次方程組
的解大家一定疑惑，這麼容易就能得到的公式，為什麼以前不講呢？問題是這個公式很難記住。乙個公式如果很難記住，它的作用自然不能很好地發揮。
只要我們引入行列式的概念，改變一下這個公式的形式，這個公式就很容易記住，上面的公式就求活了。
1.1 二階、三階行列式
一、二階行列式
我們用記號表示代數和，稱為二階行列式，即
二階行列式表示的代數和，可以用對角線法則的方法記憶
例1。例2 設。
問：（1）當為何值時。（2）當為何值時。
解： （1）當或時，。（2）當且時，。
二、 三階行列式
我們用記號表示代數和
稱為三階行列式，即
用對角線法則的方法記憶三階行列式所表示的代數和
例3。例4 實數滿足什麼條件時有
解： 為實數，若要，則須同時等於零。因此，當且時，給定行列式等於零。
例5 的充分必要條件是什麼？
解： 當且僅當，即時，。因此可得的充分必要條件是。
1.2 n階行列式
一、排列與逆序
1、排列與逆序
對於個不同的元素，我們可以給它們規定乙個次序，並稱這規定的次序為標準次序。例如這個自然數，一般規定由小到大的次序為標準次序。
定義1 由個自然數組成的乙個無重複的有序陣列，稱為乙個級排列。
例如，1234和2431都是4級排列，而45321是乙個5級排列。
排列中元素之間的次序為標準次序，這個排列是標準排列(通常也稱為自然排列)；其它的排列的元素之間的次序未必是標準次序。
定義2 在乙個級排列中，如果乙個較大的數排在乙個較小的數之前，即若，則稱這兩個數組成乙個逆序。乙個排列中所有逆序的總數，稱為這個排列的逆序數，記為。
例如，排列2431中，21，43，41，31是逆序，共有4個逆序。故排列2431的逆序數。
根據定義，可按如下方法計算排列的逆序數：
設在乙個級排列中，比大的且排在前面的數共有個，則的逆序的個數為，而該排列中所有數的逆序的個數之和就是這個排列的逆序數。即
例1 計算排列45321的逆序數。
解因為4排在首位，故其逆序數為0；
比5大且排在5前面的數有0個，故其逆序數為0；
比3大且排在3前面的數有2個，故其逆序數為2；
比2大且排在2前面的數有3個，故其逆序數為3；
比1大且排在1前面的數有4個，故其逆序數為4。
可見所求排列的逆序數為
。定義3 如果排列的逆序數為奇數，則稱它為奇排列；若排列的逆序數為偶數，則稱它為偶排列。
例如，2431是偶排列，45321是奇排列；標準排列的逆序數是0，因此是偶排列。
2、對換
定義1 在排列中，將任意兩數和的位置互換，而其餘的數不動，就得到另乙個排列。這種作出新排列的手續稱為一次對換。將相鄰兩數對換，稱為相鄰對換。
例如，對換排列45321中5和1的位置後，得到排列41325。
經過對換，排列的奇偶性有何變化呢？我們有下面的基本事實。
定理1 任意乙個排列經過乙個對換後奇偶性改變。
（也就是說，經過一次對換，奇排列變成偶排列，而偶排列變成奇排列。）
定理2 個數碼共有個級排列，其中奇偶排列各佔一半。
二、階行列式的定義
1. 觀察與思考
問題：在二階行列式和三階行列式中
(1)它們的項數與階數有什麼關係?
(2)各項的一般形式怎樣?
(3)各項的符號與下標有怎樣的關係?
結論：（1）在二階行列式中共有項，每項是兩個元素的乘積，取遍了2級排列，當為偶數時取正號，為奇數時取負號。
（2）在三階行列式中共有項，每項是兩個元素的乘積，取遍了3級排列，當為偶數時取正號，為奇數時取負號。
2. 階行列式的定義
定義1 設有個數，排成行列的表
稱為階行列式，階行列式表示所有可能位於不同行列的個數的乘積的代數和，記作
。其中表示對所有的級排列求和。，這裡數稱為行列式的元素，稱為行列式的一般項。
具有三個特點：
由於級排列的總數是個，所以展開式共有項；
每項必須是取自不同行不同列的個元素的乘積；
每項前的符號取決於個元素列下標所組成排列的奇偶性。
要注意的是，當時，一階行列式，不要與絕對值記號相混淆；行列式有時也簡記為。
例1 計算上三角形行列式
。解一般項為，現考慮不為零的項。
取自第行，但只有，故只能取；取自第行，只有，由於取自第列，故不能取自第列， 所以；同理可得，。
所以不為零的項只有。所以
。類似地有 ，（下三角形行列式）
上三角形行列式）
1.3 行列式的性質
在階行列式中，我們將其第一行元素作為第一列元素，第二行元素作為第二列元素，…，第行元素作為第列元素，仍構成乙個階行列式，稱為的轉置行列式，記為或，即
則性質1 行列式與它的轉置行列式相等。
證設是階行列式，則的轉置行列式也是階行列式，因而都有！項。的項 (1)，位於的行、行、…、行，列、列、…、列，因而是的項。
同樣，的每一項也是的項，這樣與含有完全相同的項，而項(1)在與中又有相同的符號，所以=。
性質1說明， 行列式中行與列的地位是相同的，即其行所具有的性質，對於列同樣具有。因此，下列性質只就行證明即可。
性質2 交換行列式的兩行(列)，行列式的值變號。
證設 ()。
的一般項為，其符號是。令為交換的第行、第行之後所得行列式，則的一般項為，說明的項是1的項，反之亦然，因而與1有完全相同的項。又1的一般項的符號為，故=－1。
推論行列式有兩行(列)元對應相同，則行列式等於零。
性質3 將數乘行列式某一行(列)，等於將數乘該行列式。
證設 ()。
將的第行元乘後所得行列式為1，則
性質3說明，行列式每行(列)元素的公因子可提到行列式符號外面。
推論1 行列式的某行(列)元全為零，則行列式等於零。
推論2 行列式某兩行(列)元對應成比例，則行列式等於零。
性質4 階行列式的第行(列)的每乙個元素都寫成兩個數的和，則可表為兩個階行列式之和，它們的第行(列)元素，分別由中第行相應的這兩個加數構成。即
設 ，
則1)證
。故(1)式成立。
該性質可推廣到第行(列)的元素均為有限個數之和的情形。
性質5 將行列式某一行（列）元素同乘乙個數後加到另一行（列）的對應位置的元素上，行列式的值不變。
由性質4及推論2立即可得。
根據性質5， 從理論上說，任何階行列式都可以經有限步化為上(下)三角形行列式。化行列式為上(下)三角形行列式是計算行列式的重要方法之一。
例1 計算行列式
解：例2 計算行列式
解：例3 計算行列式
解：1.4 行列式按行（列）展開
雖然，行列式可通過化上(下)三角形行列式來計算，但一般情況仍是很麻煩的。因此，需要另找方法。考察三階行列式依定義的展開式，事實上它可以表為:
1）說明計算三階行列式可以轉化為計算二階行列式。我們希望能將這一結果推廣至階行列式，即通過逐步降階的方法，最後，直至化為對三階，二階行列式的計算。為此，先給出:
定義1.3 在 (≥2)階行列式中，任取元素，劃去中第行第列元，剩下的元素按原有位置順序構成的階子式，稱為元的余子式，記為;而稱為元的代數余子式，記為。
例如在三階行列式
中，元素的余子式而。
不難看出(1)式可表為
，它稱為按的第一行元展開所得的展開式。仿此，一般地我們有如下展開定理。
定理2.3.1 行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即
2)或3)
證只證(2)式。
(ⅰ) 設
，的一般項為。 (4)
其中為2，3，，的乙個排列。(4)也是的一般項。 反之，的項均可表為(4)的形式。於是與有完全相同的項。容易看出與都有項。又項(4)在中的符號是
。(4)在中的符號即是在中的符號，當為。故=
(ⅱ) 設
。經次相鄰行的互換及次相鄰列的互換化為
。由2。2性質2，，而。於是
。(ⅲ) 設，則
d=。由2.2性質4的推廣及(ⅱ)得，
定理1.5 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等於零。即
事實上，設的第由1.3性質2推論得知，則。此時，按的第行元展開，有= 0
綜合定理1.4和定理1.5可得出如下表示式：
或用降階的方法計算行列式，從理論上說是可行的。但當較大時，其計算量非常大。為減少計算量，一般地要將展開定理與1.
3中的性質5結合使用。即先按性質5，將行列式的某行(列)只化為剩餘一至兩個非零元，而後按這行(列)展開。階行列式的計算，無固定方法可言。
我們所涉及的都是一些較為特殊的行列式。計算時，需仔細觀察分析其內在特點，這對於確立可行的計算方案至關重要。
例1 計算階行列式
(n≥2)。
解從第二行起，各行減去第一行
，按第二列展開，得
!。例2 計算階行列式
。解從第一行起，各行都加到第行上，得
，按最後一行展開，得
=。仿此，……
所以。例3 計算階范得蒙行列式
。解從第行起，每行減去它相鄰上一行的倍，得
，按第一列展開後再提出每列的公因子，得，其中
為階范得蒙行列式。同法可得
。如此下去，最後得
…。范得蒙行列式的結果在計算時可作為公式使用。從上面結果可以看出，當時，階范得蒙行列式。
1.5 克萊姆法則
我們已經看到，二元線性方程組
當時，可得。其中
對於三個未知量，三個方程的線性方程組的解也有類似的形式。由此，我們在理論上解決了階行列式的計算問題之後，不難聯想到用階行列式來表示個未知量個方程的線性方程組的解。
《線性代數》第一章行列式測試卷
班級學號姓名 一 單項選擇題 本大題共10 題，每小題2分，共20分 1 下列排列是5階偶排列的是 a 24315 b 14325 c 41523 d 24351 2 如果階排列的逆序數是,則排列的逆序數是 ab c d 3 階行列式的展開式中含的項共有 項.a 0bc d 4 a 0bcd 2 5...
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