一、內容提要
本章主要介紹n階行列式的定義，性質及其計算方法．此外還介紹用n階行列式求解n元線性方程組的克萊姆法則．
二、學習要求
正確理解n階行列式的定義；熟悉行列式的性質，會利用行列式的性質化簡行列式；熟悉行列式按行（列）展開的方法；熟練掌握行列式的計算方法；掌握克萊姆法則．
第一節 n階行列式的定義
一、二階與三階行列式
行列式的概念起源於解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的．因此我們首先討論解方程組的問題．
設有二元線性方程組
1) 用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當a11a22 – a12a21≠0 時，有
2) 這就是一般二元線性方程組的公式解．但這個公式很不好記憶，應用時不方便，因此，我們引進新的符號來表示(2)這個結果，這就是行列式的起源．我們稱4個數組成的符號
為二階行列式．它含有兩行，兩列．橫的叫行，縱的叫列．行列式中的數叫做行列式的元素．從上式知，二階行列式是這樣兩項的代數和：乙個是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另乙個是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負號．
根據定義，容易得知(2) 中的兩個分子可分別寫成
如果記則當d≠0時，方程組(1) 的解(2)可以表示成
(3)這樣用行列式來表示解，形式簡便整齊，便於記憶．
首先(3) 中分母的行列式是從(1) 式中的係數按其原有的相對位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把係數行列式中的第1列換成(1)的常數項得到的，而x2的分子則是把係數行列式的第2列換成常數項而得到的．
例1 用二階行列式解線性方程組
解：這時，
因此，方程組的解是
對於三元一次線性方程組
4) 作類似的討論，我們引入三階行列式的概念．我們稱符號
(5)為三階行列式，它有三行三列，是六項的代數和．這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負號．
例2令 當 d≠0時，(4)的解可簡單地表示成
(6)它的結構與前面二元一次方程組的解類似．
例3 解線性方程組
解：所以，例4 已知，問a，b應滿足什麼條件？(其中a，b均為實數)．
解 ，若要a2+b2=0，則a與b須同時等於零．因此，當a=0且b=0時給定行列式等於零．
為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關知識。
二、計算排列的逆序數的方法
在n階行列式的定義中，要用到排列的某些知識，為此先介紹排列的一些基本知識．
設p1p2l是1,2,l, n這n個自然數的任一排列，並規定由小到大為標準次序.
先看有多少個比p1大的數排在p1前面，記為t1；
再看有多少個比p2大的數排在p2前面，記為t2；
……最後看有多少個比pn大的數排在pn前面，記為tn；
則此排列的逆序數為t=t1+t2+l+tn .
例求排列32514的逆序數
解 3的逆序數為0；2的逆序數為1；5的逆序數為0；1的逆序數為3；4的逆序數為1；於是這個排列的逆序數為t=0+1+0+3+1=5
如果排列i1i2…in 的逆序數是奇數，則稱此排列為奇排列，逆序數是偶數的排列則稱為偶排列.
三、 階行列式
我們從觀察二階、三階行列式的特徵入手．引出n階行列式的定義．
已知二階與三階行列式分別為
其中元素aij的第乙個下標i表示這個元素位於第i行，稱為行標，第二個下標j表示此元素位於第j列，稱為列標．
我們可以從中發現以下規律：
(1) 二階行列式是2！項的代數和，三階行列式是3！項的代數和；
(2) 二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；
(3) 每一項的符號是：當這一項中元素的行標是按自然序排列時，如果元素的列標為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負號．
作為二、三階行列式的推廣我們給出n階行列式的定義．
定義1 由排成n行n列的n2個元素aij (i，j=1，2，…，n)組成的符號
稱為n階行列式．它是n!項的代數和，每一項是取自不同行和不同列的n個元素的乘積，各項的符號是：每一項中各元素的行標排成自然序排列，如果列標的排列為偶排列時，則取正號；為奇排列，則取負號．於是得
其中p1p2lpn為自然數1,2,l,n的乙個排列， t為這個排列的逆序數，求和符號∑是對所有排列(p1p2lpn)求和.
n階行列式d中所含n2個數叫做d的元素，位於第i行第j列的元素aij，叫做d的(i,j)元.
當n=2、3時，這樣定義的二階、三階行列式與上面中用對角線法則定義的是一致的．當n=1時，一階行列為|a11|= a11．
對角線法則：只對2階和3階行列式適用
行列式的定義中應注意兩點（1）項是取自d中不同行、不同列的n個元素的乘積.由排列知識可知，d中
這樣的乘積共有n！項.
（2）（-1）t，t為排列（p1p2lpn）的逆序數，即當p1p2lpn是偶排列時，對應的項取正號；當p1p2lpn是奇排列時，對應的項取負號.
綜上所述，n階行列式d恰是d中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的代數和，其中一半帶正號，一半帶負號.
例出4階行列式中含有a11a23的項.
解 -a11a23a32a44和a11a23a34a42 .
例試判斷a14a23a31a42a56a65是否是6階行列式中的項.
解 a14a23a31a42a56a65下標的逆序數為，所以a14a23a31a42a56a65是6階行列式中的項.
例計算行列式
解例計算上三角形行列式
其中aii≠０ (i=1， 2，…， n)．
解：由n階行列式的定義，應有n!項，其一般項為
但由於d中有許多元素為零，只需求出上述一切項中不為零的項即可．在d中，第n行元素除ann外，其餘均為０．所以jn=n；在第n–1行中，除an–1n–1和an–1n外，其餘元素都是零，因而jn–1只取n–1、n這兩個可能，又由於ann、an–1n位於同一列，而jn=n．所以只有jn–1 = n–1．這樣逐步往上推，不難看出，在展開式中只有a11a22…ann一項不等於零．而這項的列標所組成的排列的逆序數是n(12…n)=0故取正號．因此，由行列式的定義有
即上三角形行列式的值等於主對角線上各元素的乘積．
同理可求得下三角形行列式
特別地，對角形行列式
上(下)三角形行列式及對角形行列式的值，均等於主對角線上元素的乘積．
例計算行列式
解這個行列式除了a1na2n–1…an1這一項外，其餘項均為零，現在來看這一項的符號，列標的n級排列為n(n–1)…21，，所以
同理可計算出
由行列式的定義，行列式中的每一項都是取自不同的行不同的列的n個元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全為0，則該行列式等於0。
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