與此相類似的還有：
（2023年上海春季）若函式f(x)=，則f-1
【例3】(2023年全國春季)設函式f(x)=，求f(x)的單調區間，並證明f(x)在其單調區間上的單調性。
分析：解決有關概念問題，一般都可以從它的定義開始。這個函式的單調區間既可以利用圖象來求，也可以利用定義域結合特殊值的方法來求；證明也有兩種方法，一是利用單調性的定義，二是利用函式的導數證明。
解法1：函式f(x)=的定義域為（-∞，-b）∪(-b,+∞)。函式f(x)在（-∞，-b）上是減函式，在(-b,+∞)上也是減函式。
取x1,x2∈(-b,+∞)，且x1f(x1)-f(x2)=.
∵a-b>0,x2-x1>0,(x1+b)(x2+b)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(-b,+∞)上是減函式。
同理可證f(x)在（-∞，-b）上也是減函式。
解法2：f/(x)=,顯然，當x≠-b時，f/(x)< 0恆成立，所以函式f(x)在（-∞，-b）∪(-b,+∞)上是減函式。
不難看出，利用導數解決有關單調性的問題有時還是很方便的。
【例4】（2023年全國）設函式f(x)=，其中a>0。解不等式:f(x) ≤1.
分析：這個不等式是乙個無理不等式，解無理不等式的基本思路是轉化為有理不等式，然後再解。轉化的基本方法是兩邊平方，在兩邊平方時要注意等價性。
解：f(x) ≤1即
由（2）得：x[(a2-1)x+2a] 0.
當 0當 a>1時，得：x0或。而這時因為，所以，當0解不等式是乙個基本技能，應熟練掌握每一類不等式的基本解法，清楚容易發生的錯誤，這樣才可能在解決時避免出現類似的錯誤。
【例5】（2023年上海）已知函式f(x)=,x∈.
（1）當a=時，求函式f(x)的最小值；
（2）若對任意的x∈,f(x)>0恆成立，試求a的取值範圍。
分析：本題考查求函式的最值的方法，以及等價變換和函式思想的運用。當a=時，f(x)= ，當且僅當時等號成立，而，也就是說這個最小值是取不到的。
解：(1)當a=時，f(x)=，這時f/(x)=1-,當x∈時，f/(x)>0,說明函式f(x)為增函式，所以當x=1時，取到最小值f(1)=3.5.
(2)解法1：f(x)>0恆成立，就是x2+2x+a>0恆成立，而函式g(x)=x2+2x+a在上增函式，所以當x=1時，g(x)取到最小值3+a，故3+a>0，得：a>-3。
解法2：f(x)>0恆成立，就是x2+2x+a>0恆成立，即a>-x2-2x恆成立，這只要a大於函式-x2-2x的最大值即可。而函式-x2-2x在上為減函式，當x=1時，函式-x2-2x取到最大值-3，所以a>-3。
函式、方程不等式之間有著密切的聯絡，在解題時要重視這種聯絡，要善於從函式的高度理解方程和不等式的問題，也要善於利用方程和不等式的知識解決函式的問題。
二、對函式、方程、不等式之間的聯絡要能靈活運用
【例6】（97年全國）不等式組的解集是
a．= [f(x1)-f(x2)]2<0(f(x1) f(x2)),所以在(x1,x2)上必有乙個實根。
（2）因為x1,m-,x2成等差數列，所以x1+x2=2m-1.
由2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,將上式代入，得：
b=-a(2m2-x12-x22),所以x0=.
【例10】（97年全國）設二次函式f(x)= ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的兩根x1,x2滿足0（1）當x∈(0,x1)時，證明：x（2）設函式f(x)的圖象關於直線x=x0對稱，證明：x0<.
分析：（1）欲證x同除a（x-x1）<0，得：0< x2-x<。
（2）欲證x0<，即證<，而x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的兩根，所以x1+x2=，故=。
【例11】已知a,b,c∈r，函式f(x)= ax2+bx+c.
（1）若a+c=0，f(x)在[-1,1]上的最大值為2，最小值為，證明：a0且||<2；
（2）若a>0，p、q滿足p+q=1，且對任意的實數x、y均有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，證明：0≤p≤1.
分析：（1）用反證法。假設a=0或||≥2，由a+c=0，得a=-c，故f(x)= ax2+bx- a.
當a=0時，f(x)= bx，是乙個單調函式，其最大值為|b|，最小值為-|b|，又已知得：|b|=2且-|b|=，矛盾，故a0。
當||≥2時，|-|≥1，函式f(x)在[-1,1]上也是單調函式，由上可知矛盾，故||<2。
綜合以上兩種情況，得a0且||<2；
(2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c)-[a(px+qy)2+b(px+qy)+c]
=ap(1-p)2x2-2apqxy+aq(1-q)y2=apq(x-y)2≥0,因為a>0,(x-y)2≥0，所以pq≥0,p(1-p)≥0，故0≤p≤1.
高中理科數學解題方法篇函式與不等式
高考衝刺 函式與不等式問題的解題技巧 編稿 林景飛審稿 張揚責編 嚴春梅 熱點分析 高考動向 1 函式問題是高考每年必考的重要知識點之一，分析歷年高考函式試題，大致有這樣幾個特點 常常通過選擇題和填空題，全面考查函式的基本概念，性質和圖象 在解答題的考查中，常常與不等式 導數 數列 甚至解析幾何等結...
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第2章函式 考點 集合，一元二次函式及其影象，指數函式 對數函式 1.集合 1 集合概念 具有相同事物的全體。2 集合與元素的關係 2.一元二次函式 定義 函式叫做一元二次函式。1 一元二次函式的圖象是一條拋物線。2 任何乙個二次函式都可把它的解析式配方為頂點式 性質如下 1 圖象的頂點座標為，對稱...