高中數學經典的解題技巧和方法（導數及其應用）
【編者按】導數及其應用是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試的熱點跟增長點，無論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，馬博士教育網數學頻道編輯部特意針對這兩個部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學們，讓同學們有更多、更好、更快的方法解決數學問題。好了，下面就請同學們跟我們一起來**下集合跟常用邏輯用語的經典解題技巧。
首先，解答導數及其應用這兩個方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，同學們應該先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解決問題：
1.導數概念及其幾何意義
（1）了解導數概念的實際背景。
（2）理解導數的幾何意義。
2．導數的運算
（1）能根據導數定義求函式的導數。
（2）能利用給出的基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數。
（3）能求簡單的復合函式（僅限於形如的復合函式）的導數。
3．導數在研究函式中的應用
（1）了解函式單調性和導數的關係，能利用導數研究函式的單調性，會求函式的單調區間（其中多項式函式一般不超過三次）。
（2）了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函式的極大值、極小值（其中多項式函式一般不超過三次）；會求閉區間了函式的最大值、最小值（其中多項式函式一般不超過三次）。
4．生活中的優化問題
會利用導數解決某些實際問題
5．定積分與微積分基本定理
（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
（2）了解微積分基本定理的含義。
好了，搞清楚了導數及其應用的基本內容之後，下面我們就看下針對這兩個內容的具體的解題技巧。
一、利用導數研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導數研究曲線的切線是導數的重要應用，為近幾年各省市高考命題的熱點。
2．常與函式的圖象、性質及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一步的形式出現，屬容易題。
解題技巧：1．導數的幾何意義
函式在處的導數的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函式對時間的導數）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函式在點的導數，即曲線在點處切線的斜率；
（2）在已知切點座標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。
注：①當曲線在點處的切線平行於軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；
②當切點座標未知時，應首先設出切點座標，再求解。
例1：（2010 ·海南高考·理科t3）曲線在點處的切線方程為（ ）
（a） （b） （c） （d）
【命題立意】本題主要考查導數的幾何意義，以及熟練運用導數的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函式，解出斜率，然後根據點斜式求出切線方程.
【規範解答】選a.因為 ，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選a.
二、利用導數研究導數的單調性
考情聚焦：1．導數是研究函式單調性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函式的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函式一般為含引數的高次、分式或指、對數式結構，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
解題技巧：利用導數研究函式單調性的一般步驟。
（1）確定函式的定義域；
（2）求導數；
（3）①若求單調區間（或證明單調性），只需在函式的定義域內解（或證明）不等式＞0或＜0。
②若已知的單調性，則轉化為不等式≥0或≤0在單調區間上恆成立問題求解。
例2：（2010·山東高考文科·ｔ21）已知函式
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調性.
【命題立意】本題主要考查導數的概念、導數的幾何意義和利用導數研究函式性質的能力.考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想.
【思路點撥】(1)根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函式與導數的關係討論函式的單調性,同時應注意分類標準的選擇.
【規範解答】（1） 當所以
因此， ,即曲線
又所以曲線
（2）因為,所以 ,令
（1） 當時，所以
當時，>0，此時，函式單調遞減；
當時，<0，此時，函式單調遞增.
（2） 當時，由，即 ，解得.
① 當時， ， 恆成立，此時，函式在（0，+∞）上單調遞減;
② 當時， ，
時，,此時,函式單調遞減
時，<0,此時,函式單調遞增
時，，此時，函式單調遞減
③ 當時，由於,
時，,此時,函式單調遞減：
時，<0,此時,函式單調遞增.
綜上所述：
當時，函式在上單調遞減;函式在上單調遞增
當時,函式在上單調遞減
當時，函式在上單調遞減；函式在上單調遞增；
函式在上單調遞減.
【方法技巧】
1、分類討論的原因
(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；
(2)數的運算：如除法運算中除式不為零，在實數集內偶次方根的被開方數為非負數，對數中真數與底數的要求，不等式兩邊同乘以乙個正數還是負數等；
(3)含引數的函式、方程、不等式等問題，由引數值的不同而導致結果發生改變；
(4)在研究幾何問題時，由於圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結果有多種可能.
2、分類討論的原則
(1)要有明確的分類標準；
(2)對討論物件分類時要不重複、不遺漏；
(3)當討論的物件不止一種時，應分層次進行.
3、分類討論的一般步驟
(1)明確討論物件，確定物件的範圍；
(2)確定統一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；
(3)逐段逐類討論，獲得階段性結果；
(4)歸納總結，得出結論.
三、利用導數研究函式的極值與最值
考情聚焦：1．導數是研究函式極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考中極值與最值問題求解的必用方法。
2．常與函式的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函式一般為含引數的高次、分式、或指、對數式結構，多以解答題形式出現，屬中高檔題。
解題技巧：1．利用導數研究函式的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導數。（3）①或求極值，則先求方程=0的根，再檢驗在方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有引數時要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程=0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函式的極值與端點處的函式值比較，其中最大的乙個是最大值，最小的乙個是最小值。
例3：（2010·天津高考理科·ｔ2１）已知函式
（ⅰ）求函式的單調區間和極值；
（ⅱ）已知函式的圖象與函式的圖象關於直線對稱，證明當時，
（iii）如果，且，證明
【命題立意】本小題主要考查導數的應用，利用導數研究函式的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函式思想分析解決問題的能力。
【思路點撥】利用導數及函式的性質解題。
【規範解答】
（ⅰ）解：f』，令f』(x)=0,解得x=1，
當x變化時，f』(x)，f(x)的變化情況如下表
所以f(x)在()內是增函式，在()內是減函式。
函式f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令f(x)=f(x)-g(x),即
於是當x>1時，2x-2>0,從而』(x)>0,從而函式f（x）在[1,+∞)是增函式。
又f(1)=f(x)>f(1)=0,即f(x)>g(x).
(ⅲ)證明：（1）
若（2）若
根據（1）（2）得
由（ⅱ）可知，>,則=，所以》,從而》.因為，所以，又由（ⅰ）可知函式f(x)在區間（-∞，1）內是增函式，所以》,即》2。
四、利用導數研究函式的圖象
考情聚焦：1．該考向由於能很好地綜合考查函式的單調性、極值（最值）、零點及數形結合思想等重要考點，而成為近幾年高考命題專家的新寵。
2．常與函式的其他性質、方程、不等式、解析幾何知識交匯命題，且函式一般為含引數的高次、分式、指、對數式結構，多以解答題中壓軸部分出現。屬於較難題。
例4：（2010·福建高考理科·ｔ20）(ⅰ)已知函式f(x)=x3-x，其影象記為曲線c.
（i）求函式f(x)的單調區間；
(ii)證明：若對於任意非零實數x1，曲線c與其在點p1（x1,f(x1）處的切線交於另一點p2（x2,f(x2).曲線c與其在點p2處的切線交於另一點p3 （x3 f(x3)），線段p1p2,p2p3與曲線c所圍成封閉圖形的面積分別記為s1,s2，則為定值：
（ⅱ）對於一般的三次函式g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似於(ⅰ)(ii)的正確命題，並予以證明。
【命題立意】本小題主要考查函式、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想。
【思路點撥】第一步（1）利用導數求解函式的單調區間，（2）利用導數求解切線的斜率，寫出切線方程，並利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關命題，並利用平移的方法進行證明。
【規範解答】（ⅰ) (i)，令得到，令有，因此原函式的單調遞增區間為和；單調遞減區間為；
(ii)，，，因此過點的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進而有，用代替，重複上面的計算，可得和，又，，因此有。
（ⅱ）【命題】若對於任意函式的影象為曲線，其類似於(i)(ii)的命題為：若對任意不等於的實數，曲線與其在點處的切線交於另一點，曲線與其在點處的切線交於另外一點，線段、與曲線所圍成面積為，則。
【證明】對於曲線，無論如何平移，其面積值是恆定的，所以這裡僅考慮的情形，，，，因此過點的切線方程為：
，聯立，得到：，
化簡：得到
從而所以同樣運用(i)中方法便可以得到
所以。【方法技巧】函式導數的內容在歷屆高考中主要切線方程、導數的計算，利用導數判斷函式單調性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函式、數列、立幾、解几等知識的聯絡，型別有交點個數、恆成立問題等,其中滲透並充分利用建構函式、分類討論、轉化與化歸、數形結合等重要的思想方法，主要考查導數的工具性作用。
高中數學經典解題技巧導數及其應用
高中數學經典的解題技巧和方法 導數及其應用 編者按 導數及其應用是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試的熱點跟增長點，無論是期中 期末還是會考 高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，馬博士教育網數學頻道編輯部特意針對這兩個部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學...
高中數學經典解題技巧導數小技巧
高中數學經典的解題技巧和方法 導數小技巧 首先，解答導數及其應用這兩個方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，同學們應該先把基本概念和定理完全的吃透了 弄懂了才能更好的解決問題 1.導數概念及其幾何意義 2 導數的運算 1 能根據導數定義求函式的導數。2 能利用給出的基本初等函式的導數...
高中數學圓錐曲線解題技巧
橢圓1.點p處的切線pt平分 pf1f2在點p處的外角.2.pt平分 pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切...