第二講平面向量
【考點透視】
「平面向量」是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現，試題多以低、中檔題為主．
透析高考試題，知命題熱點為：
1．向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數與向量的積．
2．平面向量的座標運算，平面向量的數量積及其幾何意義．
3．兩非零向量平行、垂直的充要條件．
4．圖形平移、線段的定比分點座標公式．
5．由於向量具有「數」與「形」雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經常與數列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函式的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等．
6．利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的座標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的運算等；利用數形結合思想將幾何問題代數化，通過代數運算解決幾何問題．
【例題解析】
1. 向量的概念，向量的基本運算
(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.
(2)掌握向量的加法和減法.
(3)掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的座標的概念，掌握平面向量的座標運算.
(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義,了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.
(6)掌握平面兩點間的距離公式.
例1已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那麼（ ）
命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的能力．
解： 故選a．
例2．在中，，m為bc的中點，則______.（用表示）
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實數與向量的積.
解：，，所以,.
例3．如圖1所示，d是△abc的邊ab上的中點，則向量( )
（a） （b）
（cd）
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運算能力.
解：，故選a.
例4．與向量=的夾解相等，且模為1的向量是 ( )
(ab) 或
（cd）或
命題意圖: 本題主要考查平面向量的座標運算和用平面向量處理有關角度的問題.
解：設所求平面向量為由
另一方面,當
當故平面向量與向量=的夾角相等.故選b.
例5．設向量與的夾角為，且，，則__．
命題意圖: 本題主要考查平面向量的座標運算和平面向量的數量積,以及用平面向量的數量積處理有關角度的問題.
解: 例6.已知向量，是不平行於軸的單位向量，且，則= （）
（ab） （c） （d）
命題意圖: 本題主要考查應用平面向量的座標運算和平面向量的數量積,以及方程的思想解題的能力.
解:設，則依題意有
故選b.
例7.設平面向量、、的和.如果向量、、，滿足，且順時針旋轉後與同向，其中，則（ ）
（ab）
（cd）
命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.
常規解法：∵，∴ 故把2 (i=1,2,3)，分別按順時針旋轉30後與重合，故，應選d.
巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除b，c，同理排除a，故選(d).
點評：巧妙解法巧在取=，使問題簡單化.本題也可通過畫圖,利用數形結合的方法來解決.
2. 平面向量與三角函式,解析幾何等問題結合
(1) 平面向量與三角函式、三角變換、數列、不等式及其他代數問題，由於結合性強，因而綜合能力較強，所以複習時，通過解題過程，力爭達到既回顧知識要點，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點是運用向量知識，將所給問題轉化為代數問題求解.
(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強，難度大.
例8．設函式f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈r,且函式y=f(x)的圖象經過點，
（ⅰ）求實數m的值；
（ⅱ）求函式f(x)的最小值及此時x的值的集合.
解：（ⅰ），
由已知，得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
當時，的最小值為，
由，得值的集合為
例9． 設函式.其中向量
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