第一章行列式與cramer法則
第一章部分知識清單
1.行列式
定義說明1）
說明2）行列式中每行均由不同行不同列的元素之積構成
5條性質行列等同；兩行互換值相反；數乘行列式；行列式加法；第三種初等行變換不改變行列式的值。
計算方法基本方法:1）化為三角式；2）降階法
常用方法： 利用定義或性質，拆解法，公升階法，遞推法。
特殊行列式：上三角式，對角式，範德蒙行列式。
2.克萊姆法則
解：，推論：
基本作業建議 a組：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)；
b組：一 （1），（6）；二（3），（4）
一（a）4（1）：列標：54243，表明第四列有兩元素：否; (2): .
一（a）5：.
一（a）6(5)：
一（a）7(1)，(2)：同6（3），見課件例1.15—1.18。四種方法：
；一（a）7（3，5，6，7）同型別，見課件與課本例題1.9：。
（3）：，，
（5）：，
（6）：
（7）：課本例題1.12
一（a）7（4）：拆解。
一（a）7（8）：見課本例題1.15.
一（a）10：係數行列式=0.要求：耐心，細緻！
一（b）1（3）：
一（b）1（4）：
一（b）1（5），類一（a）5：
一（b）1（6）（7）（10）同課本例題1.15：
一（b）1（11）類同一a(10)
一（b）2（1） 特例法：
一（b）2（2）類一（b）1（5），由定義：
一（b）2（3）：排除法。請記憶結論（d）
一（b）2（4），同一（a）10
一（b）3（1），參見課件例1.18。類一（a）7（1），（2）：
一（b）3（2）：。
第二章矩陣
第二章部分知識清單
1.矩陣的線性運算（加法與數乘）與矩陣的乘法
注意：矩陣乘法無交換律與消去律.
2.轉置陣運算
，，。3.矩陣的逆與線性方程組的矩陣解法
1）有關公式：
；，，.
，，由此得：
2）有關方法：
求逆矩陣：直接用定義（例：待定係數法）；伴隨陣法；初等變換法。
解矩陣方程逆矩陣法:；初等變換法： ，特例：
解線性方程組：,選擇自由未知量，給出方程的解（最佳形式）.
4.如何求矩陣的秩？
重要結論：初等變換不改變矩陣的秩，具體有：，即：兩同型陣等價的充要條件是等秩.
方法一：利用定義（如：尋求最高端非零子式）；方法二：矩陣的秩即行階梯形中非零行的個數。
基本作業建議 a組：4， 6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，29（4），（5）；b組：一 （2），（6），（7）；二（1）——（9）
二（a）7：
二（a）10 ：方法一，歸納；方法二，二項式定理.
例：10（4）
二（a）16 ：
二（a）17： .
二（a）18：
二（a）19：
二（a）20：
二（a）23(1):. (2):.
(3):.
二（a）26:,.
二（a）28:,.
二（a）30:由一（a）7（1）:，，合題意.
二（a）31:類30：.
二（b）1（1）：；
二（b）1（2）：
二（b）1（3）：分塊對角陣。
二（b）1（4）：.
二（b）1（5）：
二（b）1（6）：b可逆，於是：.
二（b）1（7）：
二（b）1（7）：
二（b）1（8）：方法一，歸納；
方法二：，
即，，。
二（b）1（9）：類二（b）（2）：，
二（b）1（10）：，
二（b）2（1）：排除法
二（b）2（2）：方法與答案同上
二（b）2（3）：利用對稱陣的定義與性質
二（b）2（4）：排除法
二（b）2（5）：.
二（b）2（6）:
二（b）2（7）:
二（b）2（8）:
二（b）2（9）:
二（b）2（10）:
二（b）2（11）:
二（b）2（12）:
二（b）3(1):
二（b）3(2):
二（b）3():(略)
二（b）3(4)，第一小題:
二（b）3(4)，第二小題:
二（b）3(4)，第三小題:
二（b）3(5)：
二（b）3(6)：
二（b）3(7)：
另解：二（b）3(8)：
二（b）3(9)：
二（b）3(10)：第一小題:.
二（b）3(10)：，第二小題
二（b）3(11)：
二（b）3(12)：
。二（b）3(13)：
二（b）3(14)：
二（b）3(15)：
證： 二（b）3(16)：
第三章向量與線性方程組
第三章部分知識清單
1.線性方程組解的存在性
，具體有：，則有唯一解；
有無窮多解：，可任取.
推論：請問：漢語如何表述？
2.向量組的線性相關性
1）2）如何用漢語表達這個定理？
推論:維數小於個數的向量組必線性相關；「部分相關，則全體相關」，「縮短組」無關，則「延長組」無關.
線性表出，則向量組b線性相關.
3.向量組的秩即矩陣的秩？
定理3.4.1 ：r (a)=行秩=列秩.即：
4.線性方程句號是什麼？
，設其通解為，
又設為的特解，則的通解為：
4.重要方法列舉
1) 如何證明可由線性表出？
的線性關係.
2) 如何證明線性無關？
方法1：解方程組，證明只有零解（定義）；
方法2：證明（a的列數）.
方法3：證明存在乙個秩為3的向量組b可由a線性表出（特例：等價）.
3) 如何求向量組a的秩,求其極大無關組,將其與向量用極大無關組線性表出 ？
常見方法：，觀察即可.
基本作業建議 a組： 5，7（奇數），8，12，14，17，21，22；b組：一 （2），（6），（8），9；二（1）——（11），其中（8）題以去掉「不」。
三（a）2(2)：
三（a）5(1) 方法一（初等變換不改變列向量組的線性相關性）：
表示式是唯一的。
方法二（線性表出的等價命題）：
，得唯一解：
表示式唯一存在。
三（a）5(2)：
證明如下：
解得：三（a）6（1）：
三（a）6（2）：
三（a）6（3）：
三（a）7:
三（a）8(1):
三（a）8(2):
三（a）9：類同三（a）8(1)。
三（a）10理解：線性相關；線性無關。
三（a）10（1）：由已知，線性相關；線性無關，由此得證。
三（a）10（2）：，故不能.
三（a）11： ，
方法二：
三（a）12：依據：初等行變換不改變列向量組的線性相關性.
.例如：
三（a）13：化為行階梯型。
三（a）14：
操作如下：，再觀察之。
三（a）15：則a中任何乙個向量均可由
（否則，設a中的不能由，於是：線性無關，這與矛盾），故是a中的乙個極大無關組.
另證：是a的乙個極大無關組.
三（a）16-19: 基本題型 .略。
三（a）20:
所求三（a）21，22：典型習題，務必重視！
三（b）1（1）：對應分量成比例。
三（b）1（2）：
三（b）1（3）：
三（b）1（4）：
三（b）1（5）：
三（b）1（6）：
三（b）1（7）：
三（b）1（8）：
三（b）1（9）： 類同三（a）20.
三（b）1（10）：
三（b）1（11）：
三（b）1（12）：.
三（b）1（13）：類同三（b）7.，
三（b）1（14）：解空間的維數為. 由此推出：
，解之即可。
三（b）1（15）：
三（b）2 請重視特例法（反例，如何舉例？）
b2（1）：選擇支d應該為……「任一部分（非全體）向量線性無關」.
b2（2）舉例：;2（3）同題2（2）.
b2（4）
.問：如何舉例？
b2（5）a）反例（：，（c）反例：（，
（d）反例：.
b2（6）演繹法: ，對賦特殊值（反例）。
b2（7）a行滿秩. (a)支應當改為「；如此才有：
（b）設
（c）設
（d）反例：.
b2（8）應當去掉「不」；(a)反例：（b）反例：同（a）；(d )反例：
b2(9) 特例法：請自己驗證.
b2(10) 原題應該為「兩個不同的非零的解向量」.解空間的維數基礎解系只含乙個非零向量。反例：
b2(11) (類題2（7），此題用排除法) .(a)反例: (b)反例：.(c)反例:
b2（12）排除法 （a）反例：（c）反例同（d）反例：a，b不同型。
選（b）還有理由1：依據：兩方程組同解的充要條件是係數矩陣等秩.
理由2： .
b2（13）,用「先猜後證法」即可.
b3（1）：.
b3（2）: 類a組題.21，22.化為行階梯形。
b3(3):類a組題. 問：此類行列式如何計算？這裡只介紹遞推法：
下面利用特徵方程法解此「二階常係數差分方程」
特徵方程：，解得：，通解：
代入初值得:，.
b3（4）. 第二問（最佳方法？）：
b3（5）方程組中，若，與已知矛盾，故
方法二：方程組有非零解的充要條件是什麼？
b3（6）
，故線性無關.
b3（7）所以構成一維解空間，又，
故構成的乙個基礎解系。
b3（8）設，則，且，由此知，向量組c與b等價，所以，也是的乙個基礎解系.
第四章線性空間與線性變換
第四章部分知識清單（第一節至第三節不要求）
1.內積（數量積）的六條性質
交換律:; 結合律：；
齊次性：；非負性：；
柯西不等式：；
三角不等式：.
2.標準正交基（規範正交基）
即：「正交必定無關」
是標準正交基（規範正交基）：.
3. 如何將無關組規範正交化？
schmidt正交化方法：，，
4.正交陣與正交變換
1）如何判定a是正交陣？正交陣的行列式=？
2）正交陣的轉置陣，正交陣的逆，正交陣的伴隨陣，正交陣的積均正交.
3）正交變換是保內積不變.特例：正交變換保距離不變，由此知：正交變換也是保角變換.
基本作業建議：a組13，18，19，21題，22至25選作一題；
b組一6，7，9；二6，7，8；三3.
習題提示
四 a1:（1），（2），（3），（4）關於線性運算封閉？（4）關於運算無交換律.
a2: (1),(3)關於加法運算不封閉？（2）關於數乘不封閉
a3： （1）關於加法不封閉
a4： ,.
a5:,
a6:,觀察可得.
a7 :
.a8(1),(2):， ,由此推出：
,故也是一基，即過渡矩陣.
a8(3) ：
a9.只需檢查關於與線性運算封閉與否.
(1),(3):; (2),(4),(5)是.
a10:
,a11:
.a12:,
a16:
a19 方法一：先猜出無關組，在正交規範化；
方法二：求出方程的基礎解系，再將正交規範化.
a22至25：利用定義與性質即可.
袁氏教材習題提示
第一章行列式與cramer法則 第一章部分知識清單 1.行列式 定義說明1 說明2 行列式中每行均由不同行不同列的元素之積構成 5條性質行列等同 兩行互換值相反 數乘行列式 行列式加法 第三種初等行變換不改變行列式的值。計算方法基本方法 1 化為三角式 2 降階法 常用方法 利用定義或性質，拆解法，...
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