1. 求下列各排列的逆序數.
(1) 3417826592) 987654321；
(3) n(n-1)…3214) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.
【解】(1) τ(341782659)=11;
(2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n-1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n-1)=;
(4) τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1).
4. 本行列式的展開式中包含和的項.
解： 設 ，其中分別為不同列中對應元素的行下標，則展開式中含項有
展開式中含項有
.5. 用定義計算下列各行列式.
(12).
【解】(1) d=(-1)τ(2314)4!=24; (2) d=12.
6. 計算下列各行列式.
(12)；
(34).
【解】(1);
(2);
7. 證明下列各式.
(1)；
(2)；
(3)(4)；
(5).
【證明】(1)
(2)(3) 首先考慮4階範德蒙行列式:
從上面的4階範德蒙行列式知，多項式f(x)的x的係數為
但對（*）式右端行列式按第一行展開知x的係數為兩者應相等，故
(4) 對d2n按第一行展開，得
據此遞推下去，可得
(5) 對行列式的階數n用數學歸納法.
當n=2時，可直接驗算結論成立，假定對這樣的n-1階行列式結論成立，進而證明階數為n時結論也成立.
按dn的最後一列，把dn拆成兩個n階行列式相加：
但由歸納假設
從而有8. 計算下列n階行列式.
(12)；
(3). (4)其中；
(5).
【解】(1) 各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n-1),得
將第一行乘（-1）後分別加到其餘各行，得
(2)按第二行展開
(3) 行列式按第一列展開後，得
(4)由題意，知
.(5)
. 即有
由得9. 計算n階行列式.
【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得
將第一行乘（-1）後加到其餘各行，得
10. 計算階行列式（其中）.
.【解】行列式的各列提取因子,然後應用範德蒙行列式.
11. 已知4階行列式
;試求與，其中為行列式的第4行第j個元素的代數余子式.
【解】同理
12. 用克萊姆法則解方程組.
(12)
【解】方程組的係數行列式為
故原方程組有惟一解，為
13. λ和μ為何值時，齊次方程組
有非零解?
【解】要使該齊次方程組有非零解只需其係數行列式
即故或時，方程組有非零解.
14. 問：齊次線性方程組
有非零解時，a,b必須滿足什麼條件？
【解】該齊次線性方程組有非零解，a,b需滿足
即(a+1)2=4b.
15. 求三次多項式，使得
【解】根據題意，得
這是關於四個未知數的乙個線性方程組，由於
故得於是所求的多項式為
16. 求出使一平面上三個點位於同一直線上的充分必要條件.
【解】設平面上的直線方程為
ax+by+c=0 (a,b不同時為0)
按題設有
則以a,b,c為未知數的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為
上式即為三點位於同一直線上的充分必要條件.
1. 計算下列矩陣的乘積.
（12） ；
（34） ；
（5） ； （6） .
【解】(123) (10);
(4)(56).
2. 設，，
求(1);(2)；(3)嗎?
【解】(12)
(3) 由於ab≠ba,故(a+b)(a-b)≠a2-b2.
3. 舉例說明下列命題是錯誤的.
(1) 若， 則2) 若， 則或；
(3) 若，， 則.
【解】(1) 以三階矩陣為例，取,但a≠0
(2) 令,則a2=a,但a≠0且a≠e
(3) 令
則ax=ay,但x≠y.
4. 設, 求a2，a3，…，ak.
【解】5. ， 求並證明：
.【解】
今歸納假設
那麼所以，對於一切自然數k,都有
6. 已知，其中
求及.【解】因為|p|= -1≠0,故由ap=pb,得
而7. 設，求||.
解：由已知條件，的伴隨矩陣為
又因為，所以有
，且，即
於是有8. 已知線性變換
利用矩陣乘法求從到的線性變換.
【解】已知
從而由到的線性變換為
9. 設，為階方陣，且為對稱陣，證明：也是對稱陣.
【證明】因為n階方陣a為對稱陣，即a′=a,
所以b′ab)′=b′a′b=b′ab,
故也為對稱陣.
10. 設a，b為n階對稱方陣，證明：ab為對稱陣的充分必要條件是ab=ba.
【證明】已知a′=a,b′=b，若ab是對稱陣，即(ab)′=ab.
則ab=(ab)′=b′a′=ba,
反之，因ab=ba,則
(ab)′=b′a′=ba=ab,
所以，ab為對稱陣.
11. a為n階對稱矩陣，b為n階反對稱矩陣，證明：
(1) b2是對稱矩陣.
(2) ab-ba是對稱矩陣，ab+ba是反對稱矩陣.
【證明】
因a′=a,b′= -b,故
(b2)′=b′·b′= -b·(-b)=b2;
(ab-ba)′=(ab)′-(ba)′=b′a′-a′b′
= -ba-a·(-b)=ab-ba;
(ab+ba)′=(ab)′+(ba)′=b′a′+a′b′
= -ba+a·(-b)= -(ab+ba).
所以b2是對稱矩陣，ab-ba是對稱矩陣，ab+ba是反對稱矩陣.
12. 求與a=可交換的全體二階矩陣.
【解】設與a可交換的方陣為,則由=,得
.由對應元素相等得c=0,d=a,即與a可交換的方陣為一切形如的方陣，其中a,b為任意數.
13. 求與a=可交換的全體三階矩陣.
【解】由於
a=e+,
而且由可得
由此又可得
所以即與a可交換的一切方陣為其中為任意數.
14. 求下列矩陣的逆矩陣.
(12)；
(34) ；
(56) ，
未寫出的元素都是0（以下均同，不另註）.
【解】(12);
(34);
(56).
15. 利用逆矩陣，解線性方程組
【解】因,而
故16. 證明下列命題：
(1) 若a，b是同階可逆矩陣，則（ab）*=b*a*.
(2) 若a可逆，則a*可逆且（a*）-1=（a-1）*.
(3) 若aa′=e,則（a*）′=(a*)-1.
【證明】（1） 因對任意方陣c，均有c*c=cc*=|c|e,而a,b均可逆且同階，故可得
|a|·|b|·b*a*=|ab|e(b*a*)
=(ab) *ab(b*a*)=(ab) *a(bb*)a*
=(ab) *a|b|ea*=|a|·|b|(ab) *.
∵ |a|≠0,|b|≠0,
∴ (ab) *=b*a*.
(2) 由於aa*=|a|e,故a*=|a|a-1,從而(a-1) *=|a-1|(a-1)-1=|a|-1a.
於是a* (a-1) *=|a|a-1·|a|-1a=e,
所以a-1) *=(a*)-1.
(3) 因aa′=e，故a可逆且a-1=a′.
由(2)(a*)-1=(a-1) *,得
(a*)-1=(a′) *=(a*)′.
17. 已知線性變換
求從變數到變數的線性變換.
【解】已知
且|a|=1≠0,故a可逆，因而
所以從變數到變數的線性變換為
18. 解下列矩陣方程.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解】(1) 令a=;b=.由於
故原方程的惟一解為
同理(2) x=; (3) x=; (4) x=
19. 若(k為正整數)，證明：
.【證明】作乘法
從而e-a可逆，且
20.設方陣a滿足a2－a－2e＝o，證明a及a＋2e都可逆，並求a-1及(a+2e)-1.
【證】因為a2-a-2e=0,
故由此可知，a可逆，且
同樣地由此知，a+2e可逆，且
21. 設，,求.
【解】由ab=a+2b得(a-2e)b=a.
而即a-2e可逆，故
22. 設. 其中，， 求.
【解】因可逆，且故由
得23. 設次多項式，記,稱為方陣的次多項式.
(1)， 證明
，；(2) 設， 證明，.
【證明】
(1)即k=2和k=3時，結論成立.
今假設那麼
所以，對一切自然數k，都有
而(2) 由(1)與a=p -1bp,得
b=pap -1.
且bk=( pap -1)k= pakp -1,
又24.，證明矩陣滿足方程.
【證明】將a代入式子得
故a滿足方程.
25. 設階方陣的伴隨矩陣為，
證明：(1) 若｜｜＝０，則｜｜＝０；
(2).
【證明】（1） 若|a|=0，則必有|a*|=0，因若| a*|≠0，則有a*( a*)-1=e,由此又得
a=ae=aa*( a*)-1=|a|( a*)-1=0,
這與| a*|≠0是矛盾的，故當|a| =0，則必有| a*|=0.
(2) 由a a*=|a|e，兩邊取行列式，得
|a|| a*|=|a|n,
若|a|≠0，則| a*|=|a|n-1
若|a|=0,由(1)知也有
| a*|=|a|n-1.
26. 設
.求(1); (2); (3)；(4)｜｜k (為正整數).
【解】(12);
(34).
27. 用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，並求其逆矩陣.
（12）;
（3）.
【解】(1) 對a做如下分塊
其中的逆矩陣分別為
所以a可逆，且
同理(2)(3)
線性代數課後習題答案第1 5章習題詳解
第一章行列式 1.利用對角線法則計算下列三階行列式 1 2 3 4 解 1 2 3 4 2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數 1 1 2 3 42 4 1 3 2 3 3 4 2 14 2 4 1 3 5 1 3 2 4 6 1 32.解 1 逆序數為0 2 逆序數為4 4 1，4 ...
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線性代數習題答案證明題
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