第一章行列式
1.利用對角線法則計算下列三階行列式：
（1）； （2）; （3）； （4）.
解 （1）
==（2）
（3）（4）
2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數：
（1）1 2 3 42）4 1 3 2；
（3）3 4 2 14）2 4 1 3；
（5）1 3 … 2 4 … ；
（6）1 32.
解（1）逆序數為0
（2）逆序數為4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序數為5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序數為3：
2 1，4 1，4 3（5）逆序數為：
3 21個
5 2，5 42個
7 2，7 4，7 63個
2， 4， 6個
（6）逆序數為
3 21個
5 2，5 42個
2， 4， 6個
4 21個
6 2，6 42個
2， 4， 6個
3.寫出四階行列式中含有因子的項.
解由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數．由於已固定，只能形如□□，即1324或1342.對應的分別為或和為所求.
4.計算下列各行列式：
（1）； （2）； （3）； （4）
解(1) = =
=0(2) =0
(3) = = =
(4) =
==5.證明: (12) =;
(3);
(4) ;
(5) .
證明(1)
(2)(3)
(4) ===
==(5) 用數學歸納法證明
假設對於階行列式命題成立，即
所以，對於階行列式命題成立.
6.設階行列式,把上下翻轉、或逆時針旋轉、或依副對角線翻轉，依次得， ，，
證明.證明
同理可證
7.計算下列各行列式（）：
(1),其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；
(2);
(3); 提示：利用範德蒙德行列式的結果．(4);
(5);
(6),.
解(1)
()(2)將第一行乘分別加到其餘各行，得
再將各列都加到第一列上，得
(3) 從第行開始，第行經過次相鄰對換，換到第1行，第行經次對換換到第2行…，
經次行交換，得
此行列式為范德蒙德行列式
(4)由此得遞推公式：即而
得(5)
=(6)
8.用克萊姆法則解下列方程組：
解 (1)
(2) ()．
9. 有非零解？
解 ， 齊次線性方程組有非零解，則即得
不難驗證，當該齊次線性方程組確有非零解.
10. 有非零解？
解齊次線性方程組有非零解，則
得不難驗證，當時，該齊次線性方程組確有非零解.
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