線性代數
魏福義, 黃燕蘋主編北京: 中國農業出版社, 2003. 2 (isbn 7109-08058-7)
習題解(缺習題六題解)
06學年第二學期複習題:
習題一: 4, 5, 6, 7(4), 10, 11, 13, 14, 15(1), 16(3)(4), 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
習題二: 1(3), 2(2), 3(3), 4, 5(3), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
習題三: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
習題四: 1(2)(3), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10(1)(2), 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
習題五: 1(2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
習題七:自己挑選一些題, 寫出matlab語句. 7.15必做.
這是題文
這是題解
這是注釋
習題一1.1 設 ,
求及.1.2 計算下列乘積
(1) (2)
(34)
(5)(1) (2) (3) (4)
(5)1.3 設, , 問下列各式是否成立?
(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)1.4討論下列命題是否正確:
(1)若, 則;
(2)若, 則或;
(3)若且, 則.
(1)不對. 反例:,但.
(2)不對. 反例: 設, 則且, 但.
(3)不對. 反例: 設, , , 則有且, 但..
1.5計算:
(1), (2), (3)
(1)(2)
(3)1.6設方陣滿足矩陣方程, 證明及都可逆, 並求及.
由得, 故可逆, 且.
由也可得或, 故可逆, 且.
1.7(4)利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣:
(123)
(45) (6)
(1)(2)
(3)(4)可知.
(5)(6)1.10設, 求.
解.求得,於是.
1.11設, 其中,求.
1.12 設, (1) 證明; (2) 設，證明
(1)(2)1.13 計算下列行列式
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.14 證明下列等式
(1) =(a－b)3
(2) = (1－x2)
(3) = [x+(n－1)a](x－a) n-1
(1)(2)證法二(3) =
1.15 用克拉默法則解下列方程組:
(1) (2)
(1) 計算得
因為係數行列式, 所以方程組有唯一解
.(2) 計算得
因為係數行列式, 所以方程組有唯一解
.1.16 求下列方陣的逆陣
(12);
(3); (4);
(1)套用公式, 得.
(2)套用上述公式, 得.
(3)得 .
(4)得 .
1.17．解下列矩陣方程
(1) (2)
(3)(1)(2)(3)1.18 設是階矩陣,為其轉置伴隨矩陣, 證明:
(1)若, 則
(2).
(1)設,則. 如果的第一行元素全為零, 則, 於是. 假設的第一行元素不全為零, 例如, 作如下行初等變換, 得
.現, 因此.
(2)一般地, , 但. 於是. 從而, 若, 立刻得到. 而若, 由(1)知仍成立.
1.19 設,
利用分塊矩陣的乘法, 計算.
1.20 若, 證明:.
.1.21 (選擇題) 設a, b為n階方陣, 則成立.
(a) (b)
(cd)
(a)的反例:, 除非.
(b)的反例: 若, 則.
(d)的反例:.
(c)是成立的, 因為.
1.22設階方陣的轉置伴隨矩陣為且, 求.
或1.23 設為階方陣, , 求證可逆, 並寫出逆矩陣的表示式.
可逆, 且.
1.24設分塊陣,其中可逆,求.
解.驗算.ok
1.25 設a為m階方陣, b為n階方陣, deta = a, detb = b, c =, 求detc.
利用拉普拉斯定理:
(定理1.8)在n階行列式中任取k行(列), 則由這k行(列)的元所組成的所有的k階子式與它的代數余子式的乘積之和, 等於行列式的值.
在中取所在的行, 所得的階子式只有乙個不等於零, 就是. 而的余子式是, 代數余子式是, 其中注意到是偶數. 於是.
1.26設,求.
注:矩陣或不要用行列式符號:
利用第24題的結論
1.27 計算下列n階行列式
(12)
(3)(1)同第14(3)題.
(2)(2)按第一列展開
(3)1.28設均為階方陣且,求.
注:.1.29設為階非奇異(可逆)矩陣,其轉置伴隨陣為(或),求
或 習題二
2.1 討論下列向量組的線性相關性
(1)(2)(3)(4)(1)可見, 故向量組線性相關.
(2)可見, 故向量組線性無關.
(3)可見, 故向量組線性相關.
(4)可見, 故向量組線性相關.
解法二現有個維, , 所以給出的向量組線性相關.
p53推論2.１ 任意個維向量線性相關.
2.2 求下列矩陣的秩
(123)
(1)可見秩.
(2)可見秩.
或(3)
2.3 求解下列齊次線性方程組
(1); (2) (3)
(1) 對方程組的係數矩陣作行初等變換
得簡化行階梯形(reduced row echelon form, rref). 對應的同解方程組為
,方程組的解為
.(2) 對方程組的係數矩陣作行初等變換
, 方程組有唯一零解.
(3) 對方程組的係數矩陣作行初等變換
得2.4 求乙個齊次線性方程組使他的基礎解系為
由題意, 齊次線性方程組的通解為,或
.從中消去, 得
即為所求.
解法二: 設所求的齊次線性方程組為
將分別代入方程組, 得
,解方程組(1), 得其中乙個解. 解方程組(2), 得其中乙個解. 從而得乙個滿足要求的方程組
2.5 求下列非齊次線性方程組的通解
(123)
(1) 對方程組的增廣矩陣作行初等變換, 將之化為簡化行階梯形
立刻得到方程組的解
(2) 對方程組的增廣矩陣作行初等變換, 將之化為簡化行階梯形
,立刻得到方程組的解
(3) 對方程組的增廣矩陣作行初等變換
因為, 所以方程組無解.
2.6若向量組線性無關,線性相關.試證可由線性表示.
線性無關線性無關.
線性相關可由線性表示.
從而可由線性表示.
證法二線性相關線性相關.
線性無關可由線性表示.
注意: 「線性無關, 存在全為0的,使得.」這個說法是有問題的, 因為不管是否相關,這些總是存在的!
2.7設線性方程組
當等於何值時, (1)方程組有唯一解; (2)無解; (3)有無窮多解. 並求此時方程組的通解.
.(1)時方程組有唯一解.
(2)時,. 無解
(2)時, , 有無窮多解.
2.8 設
(1)當為何值時, 向量組線性相關.
(2)當為何值時, 向量組線性無關.
(3)當線性相關時, 將表示為的線性組合.
(1)當時,線性相關;
(2)當時,線性無關.
(3)現. 設可表示為的線性組合:, 即
.則有線性方程組,或
.,得. 於是
2.9設線性方程組
.的解都是
的解.試證是
的線性組合.
方程組與
是同解方程組, 它們的基礎解系相同, 從而它們的係數矩陣的秩相同, 即向量組和向量組有相同的秩:
.設是的乙個極大無關組, 則是向量組中的個向量, 因而是線性相關的. 所以可由線性表示, 從而可由線性表示.
定理2.1 若向量組線性無關, 而向量組線性相關. 則向量可以由向量組線性表示.
2.10證明方程組
有解的充要條件是.
方程組有解.
2.11 填空題
(1) 設, 當時線性相關.
(2) 當時, 向量能由下列向量組線性表示.
(3) 已知向量組
的秩等於2, 則.
(4) 設矩陣, 當時,.
(5)設是非齊次線性方程組的解, 若也是的乙個解, 則.
(6) 設是齊次線性方程組的乙個基礎解系, 則.
(1),
當時, ,線性相關.
(2)設有使得, 即
,則該方程組的增廣矩陣
的秩. 於是.
(3),
當時,.
(4當時,
(5)給出的是非齊次方程組, , 所以
(6)線性方程租的基礎解系含個解向量(是係數矩陣的秩). 現, 於是, 這說明方程組有乙個有效方程.可以是乙個行矩陣, 設為. 因為是方程組的解, 所以
.解得即知.
注意: 本小題答案不是唯一的.
2.12 選擇題
(1)設向量組線性無關, 則下列向量組線性相關的是都不可選 .
(a) (b)
(c) (d)
(2)在齊次線性方程組中, 若, 則下列結論正確的是.
(a)當時,的個行向量線性相關.
(b)當時,的個行向量線性無關.
(c)當時,的個行向量線性無關.
(d)當時,的個行向量線性相關.
(3)設向量組線性無關, 向量組線性相關, 則下列結論錯誤的是.
(a)線性無關. (b)可以表示為線性組合.
(c)線性相關.(d)線性無關.
(4)若非齊次線性方程組有解,是的個列向量, 下列結論正確的是.
(ａ)線性相關. (ｂ)線性無關.
(ｃ)線性相關. (ｄ)線性無關.
(５)已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解,是對應的齊次線性方程組的基礎解系,為任意常數, 則方程組的通解是.
(ab)
(cd)
(6)設為階方陣, 且是的兩個不同的解向量, 則的通解為.
(ac) (ｄ)
(1)沒有乙個可選.
(a)不是線性相關的, 因為
(b)不是線性相關的, 因為
(c)不是線性相關的, 因為
(d)不是線性相關的, 因為
(2) 設, 有. 於是. 故選的個行向量先行相關.
(3)由線性無關可知線性無關. 故(a)不可選.
由線性相關且線性無關可知可由線性表示(定理2.1若向量組線性無關, 而向量組線性相關. 則向量可以由向量組線性表示.) 故(b)不可選.
由線性相關可知線性相關. 故(c)不可選.
上面確認了是線性相關, 故選(d).
(4) 注意到, 可知(a)成立
(5) 由是齊次方程組的基礎解系知的基礎解系一定含有兩個線性無關的解向量(這兩個向量一定是非零向量).
線性代數習題
成績 86 1 2004 01 矩陣的秩為 b a 0b 1 c 2d 3 2 2004 01 設矩陣a 則 a a a x y 3 x 3yb 0 c 1d 1 3 2004 01 設 1，1，1 1，2，1 k為任意實數，則 d a 線性相關b 線性相關 c 線性無關d 線性無關 4 2004 ...
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線性代數習題總結
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