第一章行列式
1.利用對角線法則計算下列三階行列式：
（1）； （2）; （3）； （4）.
解 （1）
==（2）
（3）（4）
2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數：
（1）1 2 3 42）4 1 3 2；
（3）3 4 2 14）2 4 1 3；
（5）1 3 … 2 4 … ；
（6）1 32.
解（1）逆序數為0
（2）逆序數為4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序數為5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1
（4）逆序數為3：2 1，4 1，4 3
（5）逆序數為：
3 21個
5 2，5 42個
7 2，7 4，7 63個
2， 4， 6個
（6）逆序數為
3 21個
5 2，5 42個
2， 4， 6個
4 21個
6 2，6 42個
2， 4， 6個
3.寫出四階行列式中含有因子的項.
解由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數．
由於已固定，只能形如□□，即1324或1342.對應的分別為
或和為所求.
4.計算下列各行列式：
（1）； （2）； （3）； （4）解(1
=0(2) =0
(3(4) =
==5.證明: (12) = ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
證明(1)
(2)(3)(4) ===
==(5) 用數學歸納法證明
假設對於階行列式命題成立，即
所以，對於階行列式命題成立.
6.設階行列式,把上下翻轉、或逆時針旋轉、或依副對角線翻轉，依次得
，，，證明.
證明 同理可證
7.計算下列各行列式（）：
(1) ,其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；
(2) ;
(3) ; 提示：利用範德蒙德行列式的結果．
(4) ;
(5) ;
(6) , .
解(1)
()(2)將第一行乘分別加到其餘各行，得
再將各列都加到第一列上，得
(3) 從第行開始，第行經過次相鄰對換，換到第1行，第行經次對換換到第2行…，
經次行交換，得
此行列式為范德蒙德行列式
(4)由此得遞推公式：即而
得(5)
=(6)
8.用克萊姆法則解下列方程組：
解 (1)
(2) ()．
9. 有非零解？
解 ， 齊次線性方程組有非零解，則
即得不難驗證，當該齊次線性方程組確有非零解.
10. 有非零解？
解齊次線性方程組有非零解，則
得不難驗證，當時，該齊次線性方程組確有非零解.
1 已知線性變換
求從變數x1 x2 x3到變數y1 y2 y3的線性變換
解由已知
故2 已知兩個線性變換
求從z1 z2 z3到x1 x2 x3的線性變換
解由已知
所以有3 設求3ab2a及atb
解4 計算下列乘積
(1)解(2)解 (132231)(10)
(3)解(4)解(5)解(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)
5 設問
(1)abba嗎?
解 abba
因為所以abba
(2)(ab)2a22abb2嗎?
解 (ab)2a22abb2
因為但所以(ab)2a22abb2
(3)(ab)(ab)a2b2嗎?
解 (ab)(ab)a2b2
因為而故(ab)(ab)a2b2
6 舉反列說明下列命題是錯誤的
(1)若a20 則a0
解取則a20 但a0
(2)若a2a 則a0或ae
解取則a2a 但a0且ae
(3)若axay 且a0 則xy
解取則axay 且a0 但xy
7 設求a2 a3 ak
解8 設求ak
解首先觀察
用數學歸納法證明
當k2時顯然成立
假設k時成立，則k1時，
由數學歸納法原理知
9 設a b為n階矩陣，且a為對稱矩陣，證明btab也是對稱矩陣
證明因為ata 所以
(btab)tbt(bta)tbtatbbtab
從而btab是對稱矩陣
10 設a b都是n階對稱矩陣，證明ab是對稱矩陣的充分必要條件是abba
證明充分性因為ata btb 且abba 所以
(ab)t(ba)tatbtab
即ab是對稱矩陣
必要性因為ata btb 且(ab)tab 所以
ab(ab)tbtatba
11 求下列矩陣的逆矩陣
(1)解 |a|1 故a1存在因為
故(2)解 |a|10 故a1存在因為
所以(3)解 |a|20 故a1存在因為
所以(4) (a1a2 an 0)
解由對角矩陣的性質知
12 解下列矩陣方程
(1)解(2)解(3)解(4)解13 利用逆矩陣解下列線性方程組
(1)解方程組可表示為
故從而有(2)解方程組可表示為
故故有14 設ako (k為正整數) 證明(ea)1eaa2 ak1
證明因為ako 所以eake 又因為
eak(ea)(eaa2 ak1)
所以 (ea)(eaa2 ak1)e
由定理2推論知(ea)可逆且
(ea)1eaa2 ak1
證明一方面有e(ea)1(ea)
另一方面由ako 有
e(ea)(aa2)a2 ak1(ak1ak)
(eaa2 a k1)(ea)
故 (ea)1(ea)(eaa2 ak1)(ea)
兩端同時右乘(ea)1 就有
(ea)1(ea)eaa2 ak1
15 設方陣a滿足a2a2eo 證明a及a2e都可逆並求a1及(a2e)1
證明由a2a2eo得
a2a2e 即a(ae)2e
或由定理2推論知a可逆且
由a2a2eo得
線性代數課後習題答案第1 5章習題詳解
第一章行列式 1.利用對角線法則計算下列三階行列式 1 2 3 4 解 1 2 3 4 2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數 1 1 2 3 42 4 1 3 2 3 3 4 2 14 2 4 1 3 5 1 3 2 4 6 1 32.解 1 逆序數為0 2 逆序數為4 4 1，4 ...
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