1. 證明特徵值與特徵向量的性質3.
設是乙個多項式. 又設是矩陣的乙個特徵值, 是其對應的乙個特徵向量, 則是矩陣多項式的乙個特徵值, 仍是其對應的乙個特徵向量.
證由得再由定義得證.
2. 求矩陣
的全部特徵值與特徵向量.
解由得的特徵值為（二重）.
當時，解齊次方程組得基礎解系
所以，屬於的全部特徵向量為（）.
當時，解齊次方程組得基礎解系
所以，的全部特徵向量為（）.
3. 求平面旋轉矩陣
的特徵值.
解由得矩陣的兩個特徵值為
，4. 已知是矩陣
的乙個特徵向量. 試確定的值及特徵向量所對應的特徵值.
解設所對應的特徵值為，則由, 即，得
解之得.
5. 設3階矩陣的三個特徵值為, 與之對應的特徵向量分別為
求矩陣.
解由假設
矩陣可逆，所以
6. 設3階矩陣的特徵值為, 求行列式.
解記的特徵值為,則
，故的特徵值為，計算得
所以7. 設, 證明的特徵值只能是或.
解設是的特徵值，則有特徵值
由於，故其特徵值全為零，所以，從而或.
8. （1）證明乙個特徵向量只能對應於乙個特徵值；
（2）設為矩陣陣的兩個不同的特徵值, 對應的特徵向量分別為和, 證明（）不是的特徵向量.
證 （1）設的對應於特徵向量的特徵值有和，即
由此推出，由於，因此.
（2）（反證）假設是的特徵向量，對應的特徵值為，即
由，得移項
因線性無關，所以
由得，這與矛盾.
1. 證明相似矩陣的性質1～7.
性質1 相似關係是一種等價關係. 即具有：
（1）自反性：；
（2）對稱性：；
（3）傳遞性：.
證（1）由，得
（2）設，則，
（3）設，則
，，.性質2 設, 又, 則；
證設，則
性質3 設, 又可逆, 則可逆且；
證設，由於是可逆矩陣的乘積，所以可逆. 且
，，性質4 設, 則；
證見正文.
性質5 設, 則與的特徵值相同；
證由性質4即得證.
性質6 設, 則；
證由行列式等於所有特徵值的乘積以及性質5即得證.
性質7 設, 則.
證由跡等於所有特徵值之和以及性質5即得證.
2. 設
，已知與相似，求.
解由和得
解和.3. 設,
（1）求可逆矩陣使得為對角矩陣；
（2）計算.
解（1）易求得的特徵值為，對應的特徵向量分別為. 令，則
（2）4. 設
（1）求可逆矩陣, 使為對角矩陣；
（2）計算；
（3）設向量, 計算.
解 （1）按對角化的方法易求得，和
（2）由
所以（3）（方法1）先按（2）先計算，再計算.
. （方法2）先求在基下的分解，然後再求.
解得所以在基底下的分解為
則5. 已知方陣
與對角矩陣相似, 且是的二重特徵值.
（1）求與的值.
（2）求可逆矩陣使為對角矩陣.
解 （1）
（2）求另乙個特徵值
解得基礎解系（見下面的前兩列），解得基礎解系（見下面的第三列）.
，6. 設矩陣
（1）確定的值使可對角化.
（2）當可對角化時, 求可逆矩陣, 使為對角矩陣.
解 （1）求的特徵值
可對角化
（2）方法同前
， 1. 設，證明的特徵值只能是1或2.
證設是的特徵值，則有特徵值
由於，故的特徵值全為零，所以
從而或.
2. 設階矩陣的各行元素之和都等於1，證明矩陣的特徵值.
提求：,.
證設,.
3. 證明階householder矩陣
（其中）
有個特徵值, 有乙個特徵值.
提示：方程組有個線性無關的解向量記為, 直接驗證. 又.
證方程組有個線性無關的解向量記為,即
於是上式說明有個特徵值. 又
上式說明有乙個特徵值.
綜上，的特徵值為.
4. 設是矩陣, 是矩陣, 證明與有相同的非零特徵值. 特別地，如果, 則與的特徵值完全相同.
證法1 由
（設）立即得證.
證法2 設是的乙個非零特徵值，對應的特徵向量為，即
用左乘上式得
只要再證明，上式說明也是的特徵值.
如果，將其代入式得
左邊，右邊（）
矛盾. 因此.
同理，的非零特徵值也是的特徵值.
5. 設與都是階矩陣，是的特徵多項式，證明可逆的充要條件是矩陣和沒有公共的特徵值.
證設為的特徵值，則
從而於是
因此（）
不是的特徵值與沒有公共的特徵值.
6. 設
，已知與相似.
（1） 求；
（2） 求可逆矩陣，使.
提示：與有相同的特徵多項式，比較兩個特徵多項式的係數.
解 （1）分別求得與的特徵多項式
由得，，即，
解得（2） 由於與相似，所以的特徵值與的特徵值相同，就是的對角元
再求出對應於這些特徵值的特徵向量分別為
令則有.
7. 設是3階方陣，是3維列向量，矩陣可逆，且
求矩陣.
解 8. 設是階矩陣，為的分別屬於特徵值的特徵向量，向量滿足.
（1）證明線性無關.
（2）令，求.
解（1）設
兩邊左乘
上面兩式相減
線性無關，，代入前面式子. 說明線性無關.
（2）9. 設，求
解的特徵值為，對應的特徵向量分別為
令，則從而
10. 設, . 證明當時, 可對角化；當時, 不可對角化.
證設. 由
知有特徵值，對應的特徵向量.
再設齊次方程組的個線性無關解為，則
說明有特徵值，對應的特徵向量為.
綜上，的個特徵值為，，對應的特徵向量為（它們線性無關）. 因此，可對角化. 相應的對角矩陣為
設. 由
的特徵值全是零（重）. 但屬於的線性無關的特徵向量個數為
所以不可對角化.
11．求解微分方程組
解寫成矩陣形式
，，由初值定出常數
12．在某國，每年有比例為p的農村居民移居城鎮，有比例為q的城鎮居民移居農村. 假設該國總人口不變，且上述人口遷移的規律也不變. 把n年後的農村人口和城鎮人口佔總人口的比例依次記為和（）.
（1）求關係式中的矩陣；
（2）設目前農村人口與城鎮人口相等，即，求.
解 （1）
（2）由
得的特徵值為
再求得對應的特徵向量為
令，則於是
線性代數第4章 習題
第4章矩陣的初等變換與線性方程組 1 把下列矩陣化為行最簡形矩陣 12 3 解 1 2 3 2 在秩是的矩陣中,有沒有等於0的階子式?有沒有等於0的階子式?解在秩是的矩陣中,可能存在等於0的階子式,也可能存在等於0的階子式.例如，同時存在等於0的3階子式和2階子式.3 從矩陣中劃去一行得到矩陣,問的...
線性代數第1 5章習題詳解
第一章行列式 1.利用對角線法則計算下列三階行列式 1 2 3 4 解 1 2 3 4 2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數 1 1 2 3 42 4 1 3 2 3 3 4 2 14 2 4 1 3 5 1 3 2 4 6 1 32.解 1 逆序數為0 2 逆序數為4 4 1，4 ...
第五章線性代數
備考要點 線性代數部分的考點主要包括行列式，矩陣，向量，線性方程組和特徵值問題五個部分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性質，行列式展開定理，行列式的計算 矩陣部分主要考查矩陣的概念，矩陣的運算，逆矩陣，矩陣的初等變換 向量部分主要考查向量組的線性相關和線性無關，向量組的秩和矩陣的秩 線性方程組...