第六章二次型
二次型的乙個重要議題就是化二次型為標準型,即通過變數的代換,將其化簡為乙個只含平方項的二次型.乙個二次型總可與一對實對稱方陣聯絡著,這實際上就是用乙個線性變換將此方陣對角化.本章內容即以此議題為中心展開,兼及正定二次型及正定矩陣的一些基本性質.
一、教學目標與基本要求：
1 二次型與其標準型的矩陣關係
定義6.1.1 設a,b都是n階方陣.若存在滿秩(可逆)方陣c,使,則稱b是a的合同矩陣,亦稱b與a合同.
類似於矩陣的等價關係及相似關係,合同關係亦具有以下性質:
(1)自反性:任意方陣與自身合同；
(2)對稱性:若b與a合同,則a與b合同；
(3)傳遞性:若b與a合同,d與b合同,則d與a合同.
定理6.1.1 設a為對稱陣.若b與a合同,則b亦是對稱陣,且.
2 化二次型為標準型
上一節的討論表明,對於任意二次型
總可求得乙個正交陣c,作變換
就把f化為標準型
.這裡是a的全部特徵值,對角陣.
該節主要舉例化二次型為標準型
還須指出,由於實對稱陣的特徵值是確定的,二次型經正交變換化得的標準型,在不考慮各平方項次序的意義下是唯一的.但是,所用的正交變換卻不唯一,這因為在構造正交陣時,選取屬於各特徵值的特徵向量的方式並不唯一,只要它們獨立即可.
用正交變換化二次型為標準型,具有保持二次型所表示的幾何圖形的形狀不變的優點.但是,也可以用別的多種方法去尋求多種滿秩(可逆)的線性變換,把二次型化為標準型.如用初等變換法,拉格朗日(lagrange)配方法等.
3 正定二次型
定理6.3.1 (慣性定理) 任意乙個秩為r、係數為實數的二次型
均可化為規範型.而且,不論用何種滿秩線性變換,所化得的規範型是唯一的.換言之,該二次型的正、負慣性指數是唯一確定的.
定義6.3.1設有實係數二次型
如果對於任意的,都有
(1) ,則稱f為正定二次型,並稱實對稱陣a是正定的(可記為a＞0)；
(2) ,則稱f為負定二次型,並稱實對稱陣a是負定的(可記為a＜0).
如果乙個二次型既不是正定的也不是負定的,則稱它是不定二次型.
定理6.3.2對於實係數二次型
而言,下述命題等價:
(1) f是正定的.
(2) f的正慣性指數為n.
(3)a的特徵值均大於零.
(4)存在n階可逆實方陣b,使.
定理6.3.3 對實對稱陣a而言,下述命題等價:
(1) a是正定的.
(2) a的特徵值全大於零.
(3)存在可逆實方陣b,使.
(4) a與單位陣e合同.
推論若a是正定的,則.
定理6.3.4 n階對稱陣正定的充分必要條件是: a的各階主子式都為正,即
.而a負定的充分必要條件是:奇數階主子式為負,偶數階主子式為正,即
.二、本章各節教學內容及學時分配：
第一節二次型與其標準型的矩陣關係2課時
第二節化二次型為標準型 2課時
第三節正定二次型 2課時
三、本章教學內容的重點難點：
本章主要學會如何對角化乙個矩陣.
四、本章教學內容的深化和拓寬：
指導學生對角化矩陣解決幾何實際問題。
五、本章的思考題和習題：
1(3) 2 (2) 3 (2)(4) 4 5 6 7 8(2)(3)
線性代數第六章習題冊答案
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