一、內容提要
§6.1 線性空間與簡單性質
1． 定義
設是乙個非空集合，是乙個數域。在上定義了一種加法運算「+」，即對中任意的兩個元素與，總存在中唯一的元素與之對應，記為；在數域和的元素之間定義了一種運算，稱為數乘，即對中的任意數與中任意乙個元素，在中存在唯一的乙個元素與它們對應，記為。如果上述加法和數乘滿足下列運算規則，則稱是數域上的乙個線性空間。
（1） 加法交換律：；
（2） 加法結合律：；
（3） 在中存在乙個元素，對於中的任一元素，都有；
（4） 對於中的任一元素，存在元素，使；
（5） =；
（6） ， ；
（7） ；
（8） ，
其中是中的任意元素，是數域中任意數。中適合（3）的元素稱為零元素；適合（4）的元素稱為的負元素，記為。
2． 簡單性質。
性質1 零向量是唯一的。
性質2 負向量是唯一的。
性質3 對中任意向量，有
（1） 加法消去律：從可推出；
（2） ，這裡左邊的0表示數零，右邊的表示零向量；
（3） ；
（4） ；
（5） 如果，則有或。
§6.2 基與維數
1．定義
（1）基與維數
設是數域上的乙個線性空間，如果中的個向量滿足
（1）線性無關；
（2）中的任意向量都可由線性表示，
則稱為線性空間的一組基，稱為的維數，記為，並稱為數域上的維線性空間。
（2）座標
設是n維線性空間的一組基，則對中的任意向量，存在唯一陣列，使得
，我們稱為向量在基下的座標，記作。
（3）同構
設都是數域上的線性空間，如果存在乙個從到的一一對應：，使得對任意的向量以及數，均有
，則稱線性空間與同構，記為。
2．推論
（1）維線性空間中的任意個向量必線性相關。
（2）維線性空間中的任意個線性無關的向量組成的一組基。
3．定理
（1）數域上任一n維線性空間都與同構。
（2）數域上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們有相同的維數。
§6.3 基變換和座標變換
1．過渡矩陣
設和是數域上維線性空間的兩組基，它們之間的關係為
我們稱表示矩陣
為由基到基的過渡矩陣。
2．座標變換公式
設在基和下的座標分別為，則有
=。§6.4 線性子空間
1．定義
（1）子空間
設是數域上的線性空間，是的乙個非空子集。如果對於上的加法和數乘運算，也構成數域上的線性空間，則稱為的乙個線性子空間（簡稱子空間）。
（2）生成的子空間
設是線性空間的子集，記為這組向量所有可能的線性組合構成的子集，不難看出這個子集關於向量的加法和數乘運算封閉，因此它是的乙個子空間，稱之為由生成的子空間。
2．子空間封閉性
如果線性空間的非空子集關於的兩種運算封閉，則就成為的乙個子空間。
3．有關生成子空間的性質
（1） 設和是線性空間的兩組向量組，則當且僅當可由線性表示.
（2）當且僅當向量組和等價。
（3）設是線性空間的子集，為由生成的子空間，則
a）是中包含的最小子空間，即若是包含子集的子空間，則。
b）的極大無關組是子空間的一組基，。
4．子空間的交與和
（1）個子空間的交：
也是的子空間。
（2）個子空間的和：
也是的子空間。
5．直和的定義
設是線性空間的子空間，如果和中的每個分解式
是唯一的，這個和就稱為直和，記為。
6．直和的判定定理
設是線性空間的子空間，則下列命題等價:
（1）是直和；
（2）零向量的表示唯一；
（3）；
（4）。
7．維數公式
設，則。
二、訓練題
一、選擇題
1. 設是向量空間v的一組基，且=+,=+,=+,
2. (a)vl(); (b)vl();
3. (c)v=l(); (d)v=l().
二、填空題
1. 設, , ,是向量空間v中的線性無關向量組，且=2-+,=-,=+2-2,=3+2則l(,,,)的維數
三、計算、證明題
1. 設
（1） 證明：是的子空間；
（2） 求的維數與一組基。
2. 設,。證明：
a) 是的乙個子空間。
b) 求的維數與一組基。
3. 設 v1, v2, v3 v是有限維子空間，證明： dimv1 + dimv2 + dimv3 = dim(v1 + v2 + v3) + dim(v3 (v1 + v2)) + dim(v1 + v2)。
4. 設是數域上次數小於的多項式全體構成的線性空間，是
數域上個互不相同的數，記
，，證明：是的一組基。
5. 線性空間的兩組基分別為
求由基到基的過渡矩陣，並求乙個非零矩陣，使在這兩組基下的座標相同。
6. 在次數小於的多項式全體構成的線性空間中，求從基到基的過渡矩陣。
7. 設是維實線性空間的一組基，是階實矩陣，向量組由
所定義。證明：子空間的維數等於矩陣的秩。
8. 設是線性空間的個非平凡子空間，證明：在中必存在乙個向量不屬於任何乙個。
9. 在全體階方陣組成的線性空間上，考慮， 證明： =。
第六章線性空間與線性變換 考研
1 驗證 1 2階矩陣的全體 2 主對角線上的元素之和等於0的2階矩陣的全體 3 2階對稱矩陣的全體.對於矩陣的加法和乘數運算構成線性空間，並寫出各個空間的乙個基 解 1 設分別為二階矩陣，則顯然 從而對於矩陣的加法和乘數運算構成線性空間 是的乙個基.2 設，是乙個基 3 設，則 從而,故，所以對於...
液壓第六章複習
液壓控制閥 簡稱液壓閥 是液壓系統中的控制項，用來控制液壓系統中 流體的壓力 流量及流動方向，以滿足液壓缸 液壓馬達等執行元件不同的動作要求，它是直接影響液壓系統工作過程和工作特性的重要元器件。液壓閥的基本結構主要包括閥芯 閥體和驅動閥芯在閥體內做相對運動的操縱裝置。1 按機能進行分類 方向控制閥 ...
第六章第六章財務計畫
6.1 資金 投資比例餅圖 希吉雅食品責任 成立初期，準備籌集資金100萬元。發起人自投60萬元，申請大學生創業貸款30萬元,10萬元尋求投資，企業固定資產作投資160萬元，向銀行貸款100萬元。共計註冊資本360萬元。投資比例如圖所示 圖8 1 投資比例 創業自籌資金由創業者個人以其個人名義籌集的...