1．驗證:
(1)2階矩陣的全體;
(2)主對角線上的元素之和等於0的2階矩陣的全體;
(3)2階對稱矩陣的全體.
對於矩陣的加法和乘數運算構成線性空間，並寫出各個空間的乙個基．解 （1）設分別為二階矩陣，則顯然
，從而對於矩陣的加法和乘數運算構成線性空間．是的乙個基.
(2) 設，
， .
是乙個基．
(3)設，則
，從而,故，所以對於加法和乘數運算構成線性空間.
是的乙個基.
2．驗證：與向量不平行的全體3維陣列向量，對於陣列向量的加法和乘數運算不構成線性空間．
解設，設,
，則．但即不是線性空間.
3．設是線性空間的乙個子空間，試證：若與的維數相等，則.證明設為的一組基，它可擴充為整個空間的乙個基，由於從而也為的乙個基，則：對於可
以表示為．顯然，，故，而由
已知知，有．
4．設是維線性空間的乙個子空間，是的乙個基．試證： 中存在元素，使,成為的乙個
基．證明設,則在中必存在一向量，它不能被
線性表示，將新增進來，則是線性無關的．若
，則命題得證，否則存在則
線性無關，依此類推，可找到個線性無關的向量，它們是的乙個基．
5．在中求向量在基,，
下的座標．
解座標變換公式：
故所求為．
所求座標為．
6．在取兩個基
,,試求座標變換公式．
解設，，．
其中，，
座標變換公式，現求．
所以座標變換公式為
．7．在中取兩個基
(1) 求由前乙個基到後乙個基的過渡矩陣;
(2) 求向量在後乙個基下的座標;
(3) 求在兩個基下有相同座標的向量.
解 (1) 由題意知
從而由前乙個基到後乙個基的過渡矩陣為
(2) 設向量在後乙個基下的座標為則有
即 ，
故．(3)由(2)知
，解方程組得 (為常數)
8．說明平面上變換的幾何意義，其中
(1); (2) ;
(3); (4).
解 (1)
即與原向量關於軸對稱
(2)即將原向量投影到軸上．
(3)即與原向量關於直線對稱．
(4)即將原向量順時針旋轉．
9．階對稱矩陣的全體對於矩陣的線性運算構成乙個維線性空間.給出階矩陣，以表示中的任一元素，變換稱為合同變換.試證合同變換是中的線性變換．證明設，則
=從而，合同變換是中的線性變換．
10．函式集合
對於函式的線性運算構成3維線性空間，在中取乙個基，，求微分運算在這個基下的矩陣.
解設易知：線性無關，故為乙個基.由知
故.即在基下的矩陣為.
11．2階對稱矩陣的全體
對於矩陣的線性運算構成3維線性空間.在中取乙個基，，.在中定義合同變換
,求在基下的矩陣.
解 故
從而，在基下的矩陣.
第六章 線性空間同步複習
一 內容提要 6.1 線性空間與簡單性質 1 定義 設是乙個非空集合，是乙個數域。在上定義了一種加法運算 即對中任意的兩個元素與，總存在中唯一的元素與之對應，記為 在數域和的元素之間定義了一種運算，稱為數乘，即對中的任意數與中任意乙個元素，在中存在唯一的乙個元素與它們對應，記為。如果上述加法和數乘滿...
線性代數第六章習題冊答案
第六章二次型 1.用矩陣記號表示下列二次型 1 2 3 解 1 2 3 2.求乙個正交變換將下列二次型化成標準形 解 得，當時，特徵向量為 當時，特徵向量為 當時，特徵向量為 取，則利用正交變換，二次型可化為標準型 3.求乙個正交變換將下列二次型化成標準形 解 得，當，時，特徵向量為，通過施密特正交...
第六章線性系統的校正方法
一 教學目的與要求 通過對本章內容的講述，要讓學生懂得校正的目的，校正的基本方式。掌握控制系統的基本控制規律，常用校正裝置的特點與功能，串聯超前 滯後 滯後 超前校正的設計步驟。關鍵是通過這些知識的學習，將前面幾章的內容綜合起來加以運用，本章知識是在實際應用中的指導思想。二 授課主要內容 1 系統的...