第六章二次型
1. 用矩陣記號表示下列二次型：
(1)(2)；
(3)解：(1)
(2)(3)
2. 求乙個正交變換將下列二次型化成標準形：.解：
得，，當時，特徵向量為
當時，特徵向量為
當時，特徵向量為
取，則利用正交變換，二次型可化為標準型
3. 求乙個正交變換將下列二次型化成標準形：.解：
得， 當，時，特徵向量為，，通過施密特正交化得到，當時，特徵向量為，單位化得
取， 則利用正交變換，二次型可化為標準型
4. 求乙個正交變換將下列二次型化成標準形：．解：
得，，當時，特徵向量為，
當時，特徵向量為
當時，特徵向量為
取，則利用正交變換，二次型可化為標準型
5. 二次型通過正交變換可化為標準形，求引數及所用的正交變換矩陣.
解：二次型矩陣為
特徵值為，，，得，故，又，得.
當時，特徵向量為
當時，特徵向量為
當時，特徵向量為
取，用正交變換，二次型標準型為
6. 用配方法化為規範形，寫出所用變換的矩陣．解： 由得，取，c可逆，
由變換得二次型的規範型為
7. 判別下列二次型的正定性：
(1) ；
(2) .
解：（1）負定
（2）正定
8. 二次型，取何值時是正定二次型？
解： 二次型矩陣為，二次型正定即要求所有順序主子式可得時此二次型正定.
9. 已知為階方陣，是正定矩陣，證明為正定矩陣.
證明：因為是正定矩陣，所以，所以，即為對稱矩陣.設為的任意乙個特徵值，則是的乙個特徵值，因為為正定矩陣，所以，從而，因此為正定矩陣.
10. 設為可逆矩陣， ，證明為正定二次型．.
證明：令，因為可逆，對任意，有，
從而，為正定二次型。
線性代數教案 第六章二次型
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