第二章矩陣及其運算
1．已知線性變換：
求從變數到變數的線性變換。
解由已知：
故2．已知兩個線性變換
求從變數到變數的線性變換。
解由已知
所以有3．設, 求.解
4．計算下列乘積：
(1); (2); (3);
(4);
(5);
(6);
解(1)
(2)(3)
(4)(5)
(6)5．設 ，問：
(1)嗎?
(2)嗎?
(3)嗎?
解(1)令
則(2) 但故
(3)而
故6．舉反列說明下列命題是錯誤的:
(1)若,則;
(2)若,則或;
(2)若,且,則.
解 (1)取 ,但
(2)取 ,但且
(3)取
且但7．設,求。
解利用數學歸納法證明:
當時,顯然成立,假設時成立,則當時
由數學歸納法原理知:
8．設,求。
解首先觀察
由此推測
用數學歸納法證明:
當時,顯然成立。
假設時成立，則時，
由數學歸納法原理知:
9．設為階方陣，且為對稱陣，證明也是對稱陣。
證明：已知：
則從而也是對稱陣。
10．設都是階對稱陣，證明是對稱陣的充分必要條件是證明：由已知：
充分性：
即是對稱陣
必要性：
11．求下列方程的逆陣：
(1)； (2)； (3);
(4); (5); (6)
解(1)設
故(2) 故存在
從而(3), 故存在而故
(4)故(5) 故存在
而從而(6)
由對角矩陣的性質知
12．解下列矩陣方程：
(1); (2);
(3);
(4)。
解(1)
(2)(3)
(4)13．利用逆陣解下列線性方程:
(12)
解(1)方程組可表示為
故從而有(2) 方程組可表示為 故故有14．設(為正整數),證明
證明:一方面,
另一方面,由有
故兩端同時右乘
就有15．設方陣滿足,證明及都可逆,並求及.
證明:由得
兩端同時取行列式:
即,故所以可逆,而
故也可逆,
由16．設, ,求。
解由可得
故17．設,其中, ,求.
解故所以
而故18．設次多項式,記
稱為方陣的次多項式。
(1)設,證明:,;
(2)設,證明:,.
證明(1) i)利用數學歸納法.當時
命題成立,假設時成立,則時
故命題成立.
ii)左邊
=右邊(2) i)利用數學歸納法.當時
成立假設時成立,則時
成立,故命題成立,
即ii) 證明
右邊=左邊
19．設階方陣的伴隨陣為,證明：
(1)若,則;
(2).
證明:(1)用反證法證明。假設則有
由此得這與矛盾，故當時
有(2)由於, 則
取行列式得到:
若則若由(1)知此時命題也成立
故有20．取,驗證
檢驗: 而故
21．設,求及
解,令 則故
22．設階方陣及階方陣都可逆,求
解將分塊為
其中為矩陣,為矩陣
為矩陣,為矩陣
則由此得到故
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