線性代數b期末試題
一、判斷題(正確填t，錯誤填f。每小題2分，共10分)
1． a是n階方陣，，則有
2． a，b是同階方陣，且，則
3．如果與等價，則的行向量組與的行向量組等價
4．若均為階方陣，則當時，一定不相似
5．n維向量組線性相關，則也線性相關。 （ ）
二、單項選擇題（每小題3分，共15分）
1．下列矩陣中，（ ）不是初等矩陣。
（a） (b) (c) (d)
2．設向量組線性無關，則下列向量組中線性無關的是（ ）。
（a） （b）
（cd）
3．設a為n階方陣，且。則（ ）
(a) (b) (c) (d)
4．設為矩陣，則有
（a）若，則有無窮多解；
（b）若，則有非零解，且基礎解系含有個線性無關解向量；
（c）若有階子式不為零，則有唯一解；
（d）若有階子式不為零，則僅有零解。
5．若n階矩陣a，b有共同的特徵值，且各有n個線性無關的特徵向量，則（ ）
（a）a與b相似 （b），但|a-b|=0
（c）a=bd）a與b不一定相似，但|a|=|b|
三、填空題（每小題4分，共20分）
12．為3階矩陣，且滿足3,則
3．向量組，，，是線性 （填相關或無關）的，它的乙個極大線性無關組是
4． 已知是四元方程組的三個解，其中的秩=3，，，則方程組的通解為
5．設，且秩(a)=2，則a
四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。
1．已知a+b=ab，且，求矩陣b。
2.設，而，求。
3.已知方程組有無窮多解，求a以及方程組的通解。
4.求乙個正交變換將二次型化成標準型
5． a，b為4階方陣，ab+2b=0，矩陣b的秩為2且|e+a|=|2e-a|=0。（1）求矩陣a的特徵值；（2）a是否可相似對角化？為什麼？；（3）求|a+3e|。
五．證明題（每題5分，共10分）。
1．若是對稱矩陣，是反對稱矩陣，是否為對稱矩陣？證明你的結論。
2．設為矩陣，且的秩為n，判斷是否為正定陣？證明你的結論。
代數試題解答(04)
一、1．（f）（）
2．（t）
3．（f）。如反例：，。
4．（t）（相似矩陣行列式值相同）
5．（f）
二、1．選b。初等矩陣一定是可逆的。
2．選b。a中的三個向量之和為零，顯然a線性相關； b中的向量組與，，等價, 其秩為3，b向量組線性無關；c、d中第三個向量為前兩個向量的線性組合，c、d中的向量組線性相關。
3．選c 。由，
)。4．選d。a錯誤，因為，不能保證；b錯誤，的基礎解系含有個解向量；c錯誤，因為有可能，無解；d正確，因為。
5．選a。a正確，因為它們可對角化，存在可逆矩陣，使得，因此都相似於同乙個對角矩陣。
三、1． （按第一列展開）
2． ；（=）
3． 相關（因為向量個數大於向量維數）。 。因為，。
4． 。因為，原方程組的匯出組的基礎解系中只含有乙個解向量，取為，由原方程組的通解可表為匯出組的通解與其乙個特解之和即得。
5．（四、
1．解法一：。將與組成乙個矩陣，用初等行變換求。
=。故 。
解法二：。
，因此。
2．解：，，
。3．解法一：由方程組有無窮多解，得，因此其係數行列式。即或。
當時，該方程組的增廣矩陣
於是，方程組有無窮多解。分別求出其匯出組的乙個基礎解系，原方程組的乙個特解，故時，方程組有無窮多解，其通解為，
當時增廣矩陣，，此時方程組無解。
解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。
由於該方程組有無窮多解，得。因此，即。求通解的方法與解法一相同。
4．解：首先寫出二次型的矩陣並求其特徵值。二次型的矩陣
，因此得到其特徵值為，。
再求特徵值的特徵向量。
解方程組，得對應於特徵值為的兩個線性無關的特徵向量，。
解方程組得對應於特徵值為的乙個特徵向量。
再將，正交化為，。
最後將，，單位化後組成的矩陣即為所求的正交變換矩陣，其標準形為。
5． 解：（1）由知-1，2為的特徵值。，故-2為的特徵值，又的秩為2，即特徵值-2有兩個線性無關的特徵向量，故的特徵值為-1，2，-2，-2。
（2）能相似對角化。因為對應於特徵值-1，2各有乙個特徵向量，對應於特徵值-2有兩個線性無關的特徵向量，所以有四個線性無關的特徵向量，故可相似對角化。
（3）的特徵值為2，5，1，1。故=10。
五、1．為對稱矩陣。
證明：===，
所以為對稱矩陣。
2．為正定矩陣。
證明：由知為對稱矩陣。對任意的維向量，由得， =，由定義知是正定矩陣。
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