習題三（a）1．用消元法解下列線性方程組：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：.1)
2） ∴無解
3) 4)
5）（,均為任意常數）
6）2．當a取何值時，線性方程組
無解？有唯一解？有無窮多解？當方程組有無窮多解時，求出其一般解.
解： 1°當a=-3時，無解
2°當a=2時，無窮多解
（c為任意常數）
3°當a≠2且a≠2-3時，唯一解
3．當a，b取何值時，方程組
無解？有唯一解？有無窮多解？當方程組有無窮多解時，求其一般解.
解： 1°當a≠時，唯一解
2°a=5，b≠-3時，無解
3°當a=5且b=-3無究多解
（c為任意常數）
4．當k為何值時，齊次線性方程組
有非零解？並求出此非零解.
解：時，方程組有非零解
（c為任意常數）
5．已知向量.計算：
（1）； （2）.
解：1）
2）6．設向量.求a，b的值，使.
解：則7．判定下列各組中的向量β是否可以表示為其餘向量的線性組合，若可以，試求出其表示式.
（1）；
（2）；
（3）.
解：1)
則2)則不能由線性表示
3）則(c為任意常數)
8．設.問當為何值時
（1）不能同線性表出？
（2）可同線性表出，並且表示法唯一？
（3）可同線性表出，並且表示法不唯一？
解： 1°當時，不能由線性表示
2°當且時，可由唯一性表示
3°當時，表示法不唯一
9．判定下列向量組是線性相關，還是線性無關？
（1）；
（2）；
（3）.
解：1)無關
2）3＜3，相關
3）無關
10．已知向量.
試求a為何值時，向量線性相關？線性無關.
解： 1°當即a=-2或a=3時，線性相關
2°當即a≠-2且a≠3時，線性無關
11．設線性無關，又.證明：向量組線性相關.
解：設因為線性無關，則
（c為任意常數）
則線相關
12．已知向量組可由向量組線性表示：
（1）試把向量組由向量組線性表示；
（2）這兩個向量組是否等價？
解：1）由
得2）等價，因為和可以互相線性表示
13．設n維向量組.試證：向量組與n維基本單位向量組等價.
解：因又
即和，，，可以互相線性相示，則它們等價.
14．證明：如果n維基本單位向量組可以由n維向量組線性表示，則向量組線性無關.
解：因為， 和可以相互相線性表示，則它們等價.
所以， 線性無關.
15．求下列向量組的乙個級大無關組，並將其餘向量用此極大無關組線性表示：
（1）；
（2）；
（3）解：1)
，為乙個極大無關組，且
2），，為乙個極大無關組，且=-
3）為乙個極大無相關組，且=5+2-2
=-++
16．求下列向量組的秩：
（1）（2）
解：1)
r(，，, ,)=2
2) (，，, ,)=3
17．已知矩陣
（1）計算a的所有三階子式；
（2）利用（1）的結果求矩陣a的秩.
解：1）三階子式
2）二階子式
18．把下列矩陣化為階梯形矩陣，求矩陣的秩：
（1）； （2）
解： 1)
r=22）
r=319．設向量組的秩為r，證明：中任意r個線性無關的向量都是它們的乙個極大線性無關組.
解：設故它們為
20．已知向量組如果各向量組的秩分別為r（ⅰ）=r（ⅱ）=3， r（ⅲ）=4.證明：向量組的秩為4.
解：由線性無關
(ⅱ)=3知線性相關,即可由線性表示
(ⅲ)=4知線性無關
則可由線性表示
的秩為4
21．求下列齊次線性方程組的乙個基礎解系和通解：
（1） （2）
（3） （4）
解：1)
基礎解系:
通解為2）
基礎解系:
通解為3）
基礎解系:
通解為4) 基礎解系:
通解為22．求下列非齊次線性方程組的全部解，並用其匯出組的基礎解系表示：
（1） （2）
（3） （4）
解：1）
=c(-3,0,1,）t+(11,-4,1,0） t (c為任意常數）
2）(c1,c2為任意常數）
3）= c1(1,0,-1,1,0）t+ c 2(1,0,0,0,1）t+(0,0,2,0,0）t (c1, c 2任意常數）
4） =c1(-2,1,1,0）t+ c 2(1,0,1,1）t+(3,0,1,0）t (c1, c 2任意常數）
23．證明：線性方程組
有解的充分必要條件是.在方程組有解時，求方程組的全部解.
解： 當時，方程組有解
x=+c (c為任意常數）
24．已知齊次線性方程（ⅰ），（ⅱ）的基礎解系分別是
試求方程組（ⅰ），（ⅱ）的全部公共解.
解：方程組ⅰⅱ的全部解為
k1+k2=l1+l2
= (c為任意常數）
且全部公共解為= (c為任意常數）
25．證明：如果線性方程組
的係數矩陣與矩陣
的秩相等，則此線性方程組有解.
解： 則
則故方程組有解
26．設齊次線性方程組
的係數矩陣的秩為n-1.求證：此方程組的全部解為
其中為元aij的代數余子式，且至少有乙個aij≠0，c為任意常數.
解： ∴方程組只有乙個基礎解系
又全部解為
27．設a為m×n矩陣，b為m×s矩陣.證明：ab=o的充分必要條件是b的每個列向量為齊次線性方程組ax=0的解.
解：設(）則
(）=0 則
等價於28．設a為m×n矩陣，且r(a)=r＜n.求證：存在秩為n-r的n×(n-r)矩陣b，使得ab=o.
解：設為齊次方程組的乙個基礎解系
令(,）則
=0而29．設a為n階矩陣，並且a≠o.求證：存在乙個n階矩陣b≠o使ab=o的充分必要條件是deta=0.
解：存在乙個階矩陣，使
30．設a為m×n矩陣，且r(a)= n，又b為n階矩陣.求證：
（1）如果，則；
（2）如果，則.
證明：由習題結論論知
1）證:將分塊，設=
其中 =. 則：
由可設考慮齊次線性方程組.
其中顯然的解向量，所以方程組的任一基礎解系所含向量個數為—.即又
2）由上分析知
從而（b）
1．填空題
（1）設向量，則向量可表示為的線性組合
（2）已知向量組，則當a時，線性相關；
（3）設三階矩陣，.已知與線性相關，則a
（4）已知向量組的秩為2，則ab
（5）已知方程組無解，則a
（6）線性方程組
有解的充分必要條件是滿足
（7）設矩陣，則齊次線性方程組的乙個基礎解系是
（8）設矩陣
若三階矩陣b≠o滿足，則t
（9）設n階矩陣a的各行元素之和均為零，且a的秩為n-1，則線性方程組ax=0的通解為
（10）設四元線性方程組的係數矩陣a的秩均為此方程的解，且，則方程組的通解為
解：12）
3）4）
5）6）
7）=8）
9）=10）=
2．選擇題
（1）已知向量組線性無關，則下列向量組中線性無關的是（ ）.
a． b．
c． d．
（2）向量線性無關的充分條件是（ ）.
a．均不是零向量
b．中任意兩個向量都不成比例
c．中任意乙個向量均不能由其餘s-1個向量線性表示
d．中有乙個部分組線性無關
（3）設均為n維向量，則下述結論中正確的是（ ）.
a．若，則向量組線性相關
b．若對任意一組不全為零的數，都有，則向量組線性無關
c．若向量組線性相關，則其中任意乙個向量都可以用其餘s-1個向量線表示
d．若向量組線性相關，則對任意一組不全為零的數，都有
（4）若向量組線性無關，向量組線性相關，則（ ）.
a．必可由線性表示
b．必不可由線性表示
c．必可由線性表示
d．必不可由線性表示
（5）設n階矩陣a的秩r (a)=r＜n，則a的n個行向量中（ ）.
a．必有r個行向量線性無關
b．任意r個行向量線性無關
c．任意r-1個行向量線性無關
d．任意乙個行向量都可由其他r個行向量線性表出
（6）設a是m×n矩陣，b是n×m矩陣，則（ ）.
a．當m＞n時，必有行列式
b．當m＞n時，必有行列式
c．當n＞m時，必有行列式
d．當n＞m時，必有行列式
（7）設非齊次線性方程組中，係數矩陣a為m×n矩陣，且r (a)=r，則（ ）.
a．r=m時，方程組有解
b．r=n時，方程組有唯一解
c．m=n時，方程組有唯一解
d．r＜n時，方程組有無窮多解
（8）設a是m×n矩陣，線性方程組ax=b對應的匯出組為ax=0，則下述結論中正確的是（ ）.
a．若僅有零解，則有唯一解
b．若有非零解，則有無窮多解
c．若有無窮多解，則僅有零解
d．若有無窮多解，則有非零解
（9）設矩陣，b是3×4非零矩陣，且ab=0，則必有（ ）.
a． b．
c． d．
（10）設有齊次線性方程組和，其中a，b都是m×n矩陣.現有4 個命題：
①若的解都是的解，則.
②若，則的解都是的解.
③若與同解，則.
④若，是與同解.
abcd．①③
解：a，c，b，c，a，b，a，d，a，d
3．設.試討論當a，b為何值，
（1）不能由線性表示；
（2）可由唯一地線性表示，並求出表示式；
（3）可由線性表示，但表示式不唯一，並求表示式.
解： 1°當為任意常數時， 不能由線性表示
2°當時, 能由線性表示
=+ 3°當時,能由線性表示,表示式不唯一
=+（+c）+
4．設向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（ⅰ）：線性表示.記向量組（ⅱ）：，.試證：不能由（ⅰ）線性表示，但可由（ⅱ）線性表示.
解：設能由(ⅰ）線性表示,則
1）其中不全為0
即則 （2）
則(1）代入(2）得
由(2）得
即可由(ⅱ）線性表示
5．已知向量組線性無關，試證：向量組線性無關.
解：設,則
又線性無關
6．已知向量組線性無關，設
.試問：當m為何值時，向量組線性無關？
解：設而則當線性無關;當線性無關
7．已知向量組（s≥2）線性無關.設，.試討論向量組的線性相關.
解：設而線性無關,則
則當s為奇數時,上述方程組有零解,線性無關
當s為偶數時,上述方程組有非零解,線性無關
8．設a是n階矩陣，若存在正整數k，使線性方程組有解向量α，且.證明：向量組線性無關.
線性代數答案
中國礦業大學徐海學院2013 2014學年第1學期 線性代數 試卷 a 卷 參 一填空題 1 16 2.0 3.4.1 5.4 6.7.8.9.10.24。二.單項選擇 1.c 2.a 3.d 4.b 5.c.三 解 由得.下面求.由於 而 所以.四 解 當時，線性方程組有解 即，特解為，其匯出組的...
線性代數B答案
廣東培正學院2010 2011學年第一學期期末考試參 課程名稱線性代數非雙語 雙語 非雙語 層次本科 本 專科 b 卷 人 簽名一 選擇題 1 b 2 d 3 c 4 b 5 c 6 b 7 a 8 c 9 c 10 a 二 填空題 11 12 13 相關 14 3 15 3三 計算題 16 17 ...
考研線性代數框架總結
線性代數知識點框架 線性代數的學習切入點 線性方程組。換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一物件的過程中建立起來的學科。線性方程組的特點 方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。關於線性方程組的解，有三個問題值得討論 1 方程組是否有解，即解的存在性問...