2023年10月高等教育自學考試全國統一命題考試
04184線性代數（經管類）試卷
本試卷共8頁，滿分100分，考試時間150分鐘。
說明：本試卷中，表示矩陣的轉置矩陣，表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式，表示矩陣的秩。
1、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）
在每小題列出的四個備選項中只有乙個是符合題目要求的，請將其**填寫在題後的括號內。錯選、多選或未選均無分。
1.設3階行列式=2，若元素的代數余子公式為（i,j=1,2,3)，則
ab.0c.1d.2
2.設為3階矩陣，將的第3行乘以得到單位矩陣，
則=【 】
abcd.2
3.設向量組的秩為2，則中
a.必有乙個零向量
b. b.任意兩個向量都線性無關
c.存在乙個向量可由其餘向量線性表出
d.每個向量均可由其餘向量線性表出
4.設3階矩陣,則下列向量中是的屬於特徵值的特徵向量為
abcd.
5.二次型的正慣性指數為
a.0b.1c.2d.3
2、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案。錯誤、不填均無分、
6.設，則方程的根是
7.設矩陣,則
8.設為3階矩陣，,則行列式
9.設矩陣, ,若矩陣滿足,則
10.設向量, , ,則由線性表出
的表示式為
11.設向量組線性相關，
則數12.3元齊次線性方程組的基礎解系中所含解向量的個數
為13.設3階矩陣滿足，則必有乙個特徵值為
14.設2階實對稱矩陣的特徵值分別為和1，則
15.設二次型正定，
則實數的取值範圍是
3、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）
16.計算4階行列式的值。
17.已知矩陣，求。
18.設矩陣,且矩陣滿足,求。
19.設向量
,試確定當取何值時能由線性表出，並寫出表示式。
20.求線性方程組的通解（要求用其乙個特解和匯出組的基礎解系表示）。
21.設矩陣與對角矩陣相似，求數與可逆矩陣，使得。
22.用正交變換將二次型化為標準形，寫出標準形和所作的正交變換。
四、證明題（本題7分）
23.設向量組線性相關，且其中任意兩個向量都線性無關。證明：存在全不為零的常數使得。
2023年10月高等教育自學考試全國統一命題考試
線性代數（經管類）試題答案及評分參考
（課程**04184）
1、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）
2、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
6. 5
7.8. 9.
10.11.
12.13.
14.15. ＜＜
3、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）
16.解3分
9分17.解 ......2分
7分從而9分
18.解由,得2分
又由可逆5分
由,可得
兩邊左乘,得到
9分19解設2分
該線性方程組的增廣矩陣為
6分由於能有線性表出，則必有
此時，方程組有唯一解
表示式為9分
20.解方程組的增廣矩陣
2分可知＜＜4，方程組有無窮多解4分
由同解方程組
求出方程組的乙個特解,
匯出組的乙個基礎解系為7分
從而方程組的通解為
為任意常數9分
21.解由條件可知矩陣的特徵值為2分
由，得4分
對於，由線性方程組求得乙個特徵向量為
對於，由線性方程組求得兩個線性無關的特徵向量為
令,則9分
22.解二次型的矩陣2分
由故的特徵值為4分
對於，求解齊次線性方程組，得到基礎解系
將其單位化，得7分
令,則為正交矩陣，
經正交變換，化二次型為標準形9分
4、證明題（本題7分）
23.證由於向量組線性相關，故存在不全為零的常數，使得
2分其中必有。否則，如果，則上式化為
其中不全為零，由此推出線性相關，與向量組中任意兩個向量都線性無關的條件矛盾5分
類似地，可證明7分
1、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）
1、設行列式d1=，d2=，則d2
2、若a=，b=，且2a=b，則
3、已知a是3階可逆矩陣，則下列矩陣中與a等價的是
a. b. c. d.
4、設2階實對稱矩陣a的全部特徵值味1，-1，-1，則齊次線性方程組（e+a）x=0的基礎
解系所含解向量的個數為
a.0b.1c.2d.3
5、矩陣有乙個特徵值為
a.-3b.-2c.1d.2
2、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
6、設a為3階矩陣，且=3，則
7、設a=，則a
8、已知a=，b=，若矩陣x滿足ax=b，則x
9、若向量組(1，2，1)t， (k-1，4，2)t線性相關，則數k
10、若齊次線性方程組有非零解，則數
11、設向量(1，-2，2)t， (2，0，-1)t，則內積
12、向量空間v=的維數為
13、與向量（1，0，1）t和（1，1，0）t均正交的乙個單位向量為
14、矩陣的兩個特徵值之積為
15、若實二次型f(x1，x2，x3)=正定，則數的取值範圍是
3、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）
16、計算行列式d=的值.
17、設2階矩陣a的行列式，求行列式的值.
18、設矩陣a=，b=，矩陣x滿足x=ax+b，求x.
19、求向量組的秩和乙個極大線性無關組，並將向量組中的其餘向量由該極大線性無關組線性表出.
20、利用克拉默法則解線性方程組，其中兩兩互不相同.
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